課程名稱︰微積分乙下 課程性質︰系必修 課程教師︰王振男 開課學院：醫學院 開課系所︰醫學系 考試日期（年月日）︰2013/4/16 考試時限（分鐘）：110分鐘 是否需發放獎勵金：是，謝謝 （如未明確表示，則不予發放） 試題： 1.（a）（5％）Find dy/dx if cos(x^2＋y^2)＝sin(x^2－y^2). 　（b）（5％）In what direction does f(x,y)＝e^xcosy increase most rapidly at 　　　　(0,π/2)？　　　　　　　　　　　　　　　 ┌　　 　┐ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜x^2－xy｜ 2.（10％）Let the vector-valued function f(x,y)＝｜3y^2－1｜. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 └　　　 ┘ 　Using the linear approximation to approximate f(1.1,1.9). 3.（10％）Solve the initial value problem：y'＝(1/2)y^2－2y with y(0)＝－3. 4.Denote the size of a population at time t by Ｎ(t), and assume that 　 dＮ　　　　　　　　　 Ｎ　 　───＝2Ｎ(Ｎ－10)(1－──)　for t≧0. 　 dt　　　　　　　　　 100　 　（a）（5％）Find all equilibria. 　（b）（5％）Determine the stability of the equilibria you found in（a）. 5.Consider the initial value problem：┌ y'＝(y＋1)√(y^2＋2y) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　└ y(0)＝0 　（a）（10％）Solve (1). 　（b）（10％）Does (1) have only one solution？If not, can all solution of (1) 　　　 be defined for any t＞0？ 6.（15％）Use the method of Lagrange multiplier to find the point on the plane 　2x＋y＋2z＝1 which is nearest to the origin. 7.（10％）Find the tangent line of the curve formed by the intersection of 　x^2＋2(x^2)(y^2)＋(y^3)z＋e^z－2＝0 and z(e^xy)＋cos[y^3＋(x^2)(z^2)]－1＝0 　at the point (1,0,0). 8.（15％）Find the maximum and minimum values of f(x,y)＝2x^2－y^2 over the 　region {(x,y)：x^2＋2(y－1)^2≦4}. 參考答案： 　　 xsin(x^2＋y^2)＋xcos(x^2－y^2) 1.－ ──────────────── 　　　ysin(x^2＋y^2)－ycos(x^2－y^2) 　┌　　 ┐ 2.│－0.9│ 　│　9.8│ 　└　　 ┘ 　　　　　4 3. ──────── 1－(7/3)(e^2x) 4.（a）Ｎ＝0,10,100；（b）Ｎ＝0,100 →stable、Ｎ＝10 →unstable 5.（a）y＝sec(t＋2aπ)－1（a∈Z） 　（b）not；not. 6.(2/9,1/9,2/9) 7.x＝1,z＝0,y∈R.　　　　　 7　　 4 8.maximum＝36/5 at points (±─√2,─)；minimum＝－3－2√2 at point (0,1+√2) 　　　　　　　　　　　　　　 5　　 5 --

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