課程名稱︰微積分乙下 課程性質︰系必修 課程教師︰王振男 開課學院：醫學院 開課系所︰醫學系 考試日期（年月日）︰2012/4/17 考試時限（分鐘）：110分鐘 是否需發放獎勵金：是，謝謝 （如未明確表示，則不予發放） 試題： 1.（10％）The derivative of f(x,y,z) at a point P is greatest in the direction 　of v＝i＋j－k. In this direction, the value of derivative is 2√3. 　（i） What is ▽f at P？ 　（ii） What is the derivative of f at P in the direction of (1/√6)(2i－j＋k). 2.（10％）Find the equation of the tangent plane to the surface given by 　cos(πx)－(x^2)y＋e^(xz)＋yz＝4 at the point (0,1,2). 3.（i）（20％）Compute the curvature and the torsion of the helix 　　 　 r(t)＝(acost)i＋(asint)j＋(bt)k, a,b≧0. 　（ii）（5％）For r(t) in （i）, express dＮ/ds in terms of the unit tangent 　　　　vector Ｔ and the unit binormal Ｂ. 4.（20％）Determine whether any one of the following two functions is 　differentable at (0,0). 　（i）f(x,y)＝√｜xy｜; 　（ii）f(x,y)＝｜y｜(1＋x^2). 5.（20％）Classify all critical points of f(x,y)＝x^4＋y^4－x^2－y^2＋10, i.e., 　determine whether a critical point is a local maximum, a local minimum, or a 　saddle point. 6.（15％）Find the shortest distance from the point (1,0) to the parabola 　y^2＝4x. 參考答案： 1.（i）2i＋2j－2k；（ii）0 2.2x＋2y＋z＝4 3.（i）curvature＝a/(a^2＋b^2)；torsion＝b/(a^2＋b^2)； 　（ii）－a/(a^2＋b^2)Ｔ＋b/(a^2＋b^2)Ｂ 4.（i）not differentiable；（ii）not differentiable 5.(0,0)→local maximum 　(0,1/√2)、(0,－1/√2)、(1/√2,0)、(－1/√2,0)→saddle point 　(1/√2,1/√2)、(1/√2,－1/√2)、(－1/√2,1/√2)、(－1/√2,－1/√2)→local 6.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　minimum --

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