課程名稱︰線性代數二 課程性質︰數學系大一必修 課程教師︰翁秉仁 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期︰2010年04月23日(五)，10:20-12:10 考試時限：110分鐘 是否需發放獎勵金：是 試題 : 　　　　　　　　　　　　線性代數期中考　2010/04/23 甲 [25pt] 判斷下列敘述的對錯, 不論對錯皆請說明其原因, 字數不超過50字. 　（在下列十題中選出五題來回答, 若超過五題, 請標明選擇題號, 否則一律依序取所答 　前五題計分. 每題5分, 共計25分.） 1. |R^n 上的平移是線性映射。 2. 線性映射將基底映到基底。 3. 可以找到線性映射T:|R^3→|R^5，而且im T = |R^5。 4. 若A = LDR，L為對角線為1的下三角矩陣，R為對角線為1的上三角矩陣，D=[d_ii]為對 　 角矩陣，且d_ii皆不為0，則所有固有值(eigenvalue)皆不為0。 5. 我們可以找到矩陣S，使得S^(-1)┌ 2 -1 ┐S = ┌ 2 1 ┐。 　　　　　　　　　　　　　　　　└ 5 -2 ┘　　└ -1 0 ┘ 6. 若n階方陣A之固有值為λ1,...,λn，則tr(A^k) = λ1^k + ... +λn^k。 7. 若A=A^T，u和v為兩固有向量(eigenvector)，且u≠c．v，則u⊥v。 8. exp(┌ ０ π ┐) + ┌ 1 0 ┐ = ┌ 0 0 ┐，其中exp(A)≡e^A。 　　　 └ π ０ ┘　　└ 0 1 ┘　 └ 0 0 ┘ 9. 若A的固有值都是實數且彼此互異，則A=A^T。 10. 若Q為正交矩陣(orthogornal matrix)，則Q的固有值皆是為1的複數。 乙 [75pt] 本類1.至5.題都必須回答,3A與3B選一題做答，,共計75分. 　　　　　┌ a_n ┐　 ┌ 0.2 0.3 ┐┌ a_(n_1) ┐　　　　　　　┌ a_0 ┐ ┌ 1 ┐ 1. [15pt] └ b_n ┘ = └ 0.8 0.7 ┘└ b_(n-1) ┘，若起始條件為└ b_0 ┘=└ 0 ┘ 　，求lim　┌ a_n ┐。 　　n→∞　└ b_n ┘ 2. [15pt] 　　　　　　　　　┌ 0 0 0 1 ┐ 　a. [10pt] 求A = ｜ 0 0 1 0 ｜的固有值，並找出正交矩陣Q將A對角化。 　　　　　　　　　｜ 0 1 0 0 ｜ 　　　　　　　　　└ 1 0 0 0 ┘ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　n 　b. [5pt] 將A表成spectral decomposition theorem的形式（即 A = Σ λi*Pi，其中 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 i=1 　　Pi為正交投影方陣）。 3A.[15pt] 將二次曲線 3x^2 + 8xy - 3y^2 - 6x +2y = 0 標準化，描述該曲線的特徵（ 　 例如長軸長、短軸長、中心等），並詳細寫出座標變換的過程。 3B. [15pt] 將二次曲面2xy + 2yz + 2zx + 1 = 0標準化，寫出座標變換的過程，說明其 　　為單葉雙曲面（hyperboloid of one sheet），並決定其腰部所截橢圓之長短軸。 ＊3A與3B必須以線性代數方法做答 4. [15pt] 證明對稱矩陣一定可以用正交矩陣對角化，且其固有值皆為實數。 5. [15pt] 　a. [10 pt] A為n皆方陣，若ker A ∩ im A≠{0}, 證明A 不能對角化（即找不到S，使 　　 得S^(-1)AS為對角方陣）。 　　　　　　┌ 2 1 0 0 ┐ 　b. [5 pt] ｜ 0 2 1 0 ｜可以對角化嗎？ 　　　　　　｜ 0 0 2 1 ｜ 　　　　　　└ 0 0 0 2 ┘ 丙 最多可選一題回答, 若超過一題,請標明所選題號, 否則以所答第一題計分. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ┌ 1 2 3 4 ┐ 1. [5pt] 若線性映射T:V→V，用V基底v1,v2,v3,v4的表示為｜ 2 3 4 5 ｜，則 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜ 3 4 5 6 ｜ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 └ 4 5 6 7 ┘ 　T用基底v2,v1,v4,v3的表示矩陣為何？ 2. [10pt] 若α>1，證明x + α．z = 1與圓錐x^2 + y^2 - z^2 = 0 相交曲線為一橢圓， 　並求其長軸與短軸長度。 　　　　　　　　　　　　┌ -2 1 0 1 ┐ 3. [10pt] 求對稱矩陣A = ｜ 1 -2 1 0 ｜的所有固有值與固有向量。 　　　　　　　　　　　　｜ 0 1 -2 1 ｜ 　　　　　　　　　　　　└ 1 0 1 -2 ┘ 　（提示：這是週期函數上f→f''的離散化） 4. [6pt] 對任何X≠0∈|R^n，A為n皆方陣且A=A^T 定義Raleigh Quotient為： 　　　　　　　　　　　R(X) = (X^T)AX/(X^T)X 　(a) [1pt] 證明R(c．X) = R(X)，∀c≠0∈|R。 　(b) [5pt] 若A之固有值λ1≧λ2≧…≧λn，證明λ1 = max R(X) 且 λn = min R(X) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　X≠0　　　　　　　X≠0 5. [10 pt] 若u,v為|R^n中兩單位向量。令T_u, T_v各表示以u^⊥, v^⊥為鏡面之鏡射。 　若已知T_u ．T_v = T_v ． T_u，證明T_u = T_v 或 u ⊥ v。 --

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