課程名稱︰高等微積分二 課程性質︰系定必修 課程教師︰陳金次 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期（年月日）︰2010.05.15 考試時限（分鐘）：180分鐘 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 第一部份：共六題，每題10分。請作答在第一份的試卷上。 ∞ ∞ 1. f_n(x)→f_n(x) uniformly on [0,∞)。則 lim ∫ f_n(x)dx = ∫ f_n(x)dx 正確否 n→∞ 0 0 n^(3/2) x 2. 證明 f_n(x) = ───── 則 f_n(x)→0∀x∈[0,1]。問此收斂均勻否？ 1+n^2x^2 3. { xsin(1/x) 0＜x≦1 f(x) = { { 0 x=0 問 f 在 [0,1] 上是否為有界變分 (function of bounded variation)？ 4. f_n(x) = sin(nx)，0≦x≦π，問 f_n(x) 在 [0,π] 上是否有均勻收斂子序列？ → → → → → 5. υ = (x+y, y+z, x+y-2z)，則 divυ≡ 0。試造一向量場 F = (P,Q,R) 使curl F =υ 6.B = {f│f∈C[0,1], max │f(x)│≦1}，問 B 是否 compact 在 C[0,1]中？ x∈[0,1] (x屬於[0,1]) 第二部份：以下八題，任選五題作答。前四題與後四題請分別作答在第二份、第三份試卷 7. (20pt) ∞ (nx) f(x) = Σ ─── , x∈R, (nx) 為 nx 的小數部份 n=1 n^2 (a) 設定 f 的不連續點，證明在這些點在 R 中可數稠密。 (b) 對任意 a＜b，問：f 在 [a,b] 上是否 Riemann 可積分？ 8. (20pt) f 在 [a,b] 上有界變分，試證：存在 g,h 遞增， f = g-h。 9. (20pt) z∈C (z屬於C) (a) f(z) = 1 + z + z^2 + z^3 +...收斂半徑 R=1，z=1為其奇點。 試證：對任意a,│a│ = 1，a≠1, f 在 a 點解析，並求其收斂半徑。 (b) f(z) = 1 + z^2 + z^4 + z^8 + z^16 +...收斂半徑 R=1，問：什麼樣的點 a， │a│ = 1 使 f(a) = ∞？並證明：f 在 a 點不解析∀│a│ = 1。 10.(20pt) (a) 求 g(x) = x^2 , -π≦x≦π的 Fourier series (b) 利用 (a), 求 f(x) = (1/3)(π^2x-x^3), -π≦x≦π的 Fourier series ∞ 1 π^6 (c) 證明 Σ ── = ─── n=1 n^6 945 11.(20pt) 1 1-r^2 (a) 做 P_r(θ) = ── ─────── 的圖形，-π≦θ≦π 2π 1+r^2-2rcosθ (b) 證明 P_r(θ) 為一組 summability kernel (c) f 在 T (單位圓周) 上連續 1 π 1-r^2 u(r,θ) = ── ∫ ───────── f(t)dt 2π -π 1+r^2-2rcos(θ-t) 求 lim u(r,θ) ? r→1- 12.(25pt) (a) p＞1。試證：L^p[0,1]⊂L^1[0,1] (b) L^1[0,1] = ∪_p>1 L^p[0,1] 正確否？ 13.(25pt) 1 (a) C [0,1] = {f│f' 在 [0,1] 上連續， f(0) = f(1) = 0}，求 0 1 1 min(∫ [f'(x)]^2 dx / ∫ [f(x)]^2 dx) 1 0 0 其中 f∈C [0,1] 0 1 (b) C [0,∞) = {│f' 在 [0,1] 上連續，f≡0 在某個 compact set 之外}，求 c ∞ ∞ inf(∫ [f'(x)]^2 dx / ∫ [f(x)]^2 dx) 1 0 0 其中 f∈C [0,∞) 0 14.(25pt) 1 (a) φ(x) = ∫ ───── dy，B 為 R^3 中單位球，α＜2 B │x-y│^α 試證：φ(x) 在 0 連續，且φ(x_1)＞φ(x_2) 當║x_1║＜║x_2║。 (b) 給定 f(x) 連續且隨 r = ║x║增加而遞減 (球對稱)，令 f(y) φ(x) = ∫ ───── dy B │x-y│^α 試證：φ連續，隨 r 遞增而嚴格遞減至 0 -- 註：空白框框為"∈"，有些地方打得出來，有些就是打不出來，不曉得為什麼... --

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