課程名稱︰微積分甲上 課程性質︰必修 課程教師︰楊維哲 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期（年月日）︰2009/1/13 考試時限（分鐘）：110分鐘 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 1. 畫出曲線x^5-16x^2*y+y^5=0! 【註】當然要點在於討論！(對稱性？漸近線？) 你可以模仿Descarter蔓葉線的辦法，令y=t*x來參數化！在第一象限，x,y的極大值， 各是多少？ 2. 在么圓（半徑為1，通常以原點O為圓心）上，取定點A，然後以A為圓心，畫一圓，而 計算它在么圓內部的那一段弧長s。請問：s之極大值為何？而這個圓要怎麼畫，才會 得到這個最大的s？ 3.【包絡線的意義】假設（Γ_ψ: ψ屬於[a..b]）是一族曲線，亦即，對於每個參數ψ 屬於[a..b]，都對應有一條曲線Γ_ψ: f(x,y,ψ) = 0，此時這族曲線的包絡線C是一 條（參數）曲線C: x=g(ψ), y=h(ψ), ψ屬於[a..b]，它與曲線Γ_ψ在點P_ψ=(g(ψ ),h(ψ))處相切！所以包絡線C的方程式就是： d f(x,y,ψ) = 0, ──f(x,y,ψ) = 0; （這邊是偏微，符號打不出來） dψ 聯立而消去ψ。（對於每個固定的ψ，把二元(x,y)的聯立方程式，解出來，得到x=g( ψ),y=h(ψ)。） （以下甲乙兩題，選一個做！乙是比較'理論的'） 3甲. 假設有一族橢圓，各個的長徑與短徑都在固定的座標軸上，而且長半徑與短半徑 的和固定為8。求此族橢圓的包絡線！ 3乙. 假設有一條曲線y=f(x)，過它的每一動點P_x=(x,f(x))，做出其法線Γ_x，求此 族法線的包絡線！ π 4. 若是I_n := ∫sin^n(θ)dθ，試導出其遞推公式。（n為自然數） 0 ￣￣ (2n-1)(2n-3)(2n-5)…3＊1 試求常數α，使得極限lim ────────────＊n^α = K存在，有限，且非 n→∞ (2n)(2n-2)(2n-4)…4＊2 零。並求K。 5.【Archimedes的墓碑定理】 考慮球面x^2 + y^2 + z^2 = R^2，如果做出垂直於z軸的 兩個橫截面z = a, z = b，（但是-R≦a<b≦R）則這兩面之間所夾截到的球面的面積 ，就是2πR(b-a)。（驗證一下：a = -R, b = R時！）也就是說： z座標相差dz的兩 條'緯線'之間的面積就是2πRdz。 現在假設z軸上有一點C = (0,0,c)，而球面上均勻分布了單位密度的電荷，這些電荷 在C處所產生的'電位'，是與電荷與到點C的距離反比。試計算這個球面上全部電荷在 C點所生的電位。 （這是單號卷） --

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