課程名稱︰微積分甲 課程性質︰數學 - 微積分 課程教師︰周青松 開課學院：(如下) 開課系所︰生機、生工、地質、地理、工管等 考試日期（年月日）︰ 2008/06/13黑色星期五 考試時限（分鐘）：8:10---10:00 遲到20分鐘不得進場 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 　　　　　　　　　　 Ｉ. For vector ａ＝ａ1 ｉ + ａ2 ｊ + ａ3 ｋ and ｂ＝ｂ1 ｉ + ｂ2 ｊ + ｂ3 ｋ A) Show that 　　　　　　　　　　　｜ ｉ ｊ ｋ｜ ａ x ｂ ＝　｜ａ1 ａ2 ａ3｜ 　　　　　　　　　　　｜ｂ1 ｂ2 ｂ3｜ 　　　　　　　　　　　2　 2 2 2 B) Verify : ∥ａ x ｂ∥ + (ａ · ｂ) ＝ ∥ａ∥∥ｂ∥ II. 2 A) Find f(t) given that f'(t) = 2costｉ - tsint ｊ + 2tｋ , and f(0) = ｊ + 3ｋ B) Let γ be a differentiable vector function of t and set r = ║γ║. Show that, where r ≠ 0 d γ 1 dγ ── (──) = ── [(γ x ──) x γ] dt r r^3 dt III. 2 A) Find the function with gradient F(x,y,z) = yzｉ+ (xz + 2yz)ｊ+ (xy + y )ｋ B) Find the directional derivative of f(x,y,x) = z㏑(x/y) at (1,1,2) toward the point (2,2,1). IV. A) Let U be an open connected set and let f be a differentiable function on U. If ▽f(x) = 0 for all x in U, then f is constant on U. 1 3 3 B) Use the chain rule to find the derivative of f(x,y) =—(x + y ) 3 with sespect to t along the ellipse γ(t) = acostｉ+bsintｊ V. A) Evaluate the double integral 3 ∫∫ (3xy - y) dxdy ,Ω is the region between y = |x| and y = -|x|, Ω x in [-1,1]. B) Evaluate the trible integral x ∫∫∫ 2ye dxdydz, where T is the solial T ∕ given by 0 ≦ y ≦ 1 , 0 ≦ x ≦ y ﹨ and 0 ≦ z ≦ x + y. ---每大題均20分--- -- --

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