※ 引述《suxen1094 (意義不明啊)》之銘言： : 各位大神們好 : 小弟我在計算生成函數的過程中出了些問題 : 所以想請各位指教一下 : 題目如下(第一題的A)： : https://i.imgur.com/Z6SMmcD.jpg : 而我的計算過程如下： : https://i.imgur.com/E9biCTG.jpg : 因為題目是a[n] - 4a[n-1] + 3a[n-2] : 所以我在等號左右邊加入sigma的時候 : 是令sigma的n = 2 : 雖然等號左半邊的計算我沒有問題 : 不過在計算右邊時就出現了不同的算法 : 我先透過已知x/(1-x)^2去減掉x : 得到左下角的式子1 : 然後接著計算sigma(2x)^n : 但在這裡就出現了不同的解法 : 如式子2和式子3所示 : 式子2是1/(1-2x)去減掉1+2x : 式子3則是1/(1-2x)去乘上2x : 如果按照式子1的解法 : 那理論上應該是式子2的減掉才是正確的 : 但我記得式子3的相乘才是正確答案 : 爬文後也是說相乘才是正確的 : 所以我想請問 : 正確的解法到底是式子2還是式子3？ : 然後是為什麼呢？ : 謝謝！ : -- 倒是在搞partial fraction的時候， 可以用代值法+改成(x-a)的Laurent series求係數: ∞ n 1 而且我基本上只背 Σ x = ----- n=0 1-x 剩下都靠2邊微分求得 (當然你也可以記generalized binomial theorem for negative integer power: -n ∞ k k (1+x) = ΣC(-n,k)x , where C(-n,k) = (-1) C(n+k-1,k-1) k=0 ) ∞ n Let G(x) = Σ a x n=0 n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n n ∞ n ∞ n Σ a x = 4Σ a x - 3Σ a x + Σ 2 x + Σ (n+1)x + 2Σ x n=2 n n=2 n-1 n=2 n-2 n=2 n=2 n=2 ∞ n ∞ n 2 ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n =>Σ a x = 4xΣ a x - 3x Σ a x + Σ (2x) + Σ (n+1)x + 2Σ x n=2 n n=1 n n=0 n n=2 n=2 n=2 2 1 1 => G(x)-a x-a = 4x[G(x)-a ] - 3x G(x) + (------ -2x-1) + [------- - 2x -1] 1 0 0 1-2x 2 (1-x) 1 + 2(--- - x-1) 1-x a = 4, a = 1 1 0 2 1 1 2 =>(1-4x+3x ) G(x) = 4x+1-4x + ----- -2x-1 + ------ -2x -1 + --- -2x-2 1-2x 2 1-x (1-x) 2 1-4x+3x = (1-x)(1-3x) (2x+1) 1 1 2 => G(x) = -3 ----------- + ----------------- + ----------- + ---------- (1-x)(1-3x) (1-x)(1-2x)(1-3x) 3 2 (1-x) (1-3x) (1-x) (1-3x) We want 1. a(1-3x)+b(1-x) = -3(2x+1) => -2a = -9(Set x=1) and 2b/3 = -5(Set x=1/3) => a = 9/2, b =-15/2 2. a(1-2x)(1-3x)+b(1-x)(1-3x)+c(1-x)(1-2x) = 1 => 2a = 1(Set x=1), -b/4=1(Set x=1/2), 2c/9(Set x=1/3) = 1 => a = 1/2, b = -4, c = 9/2 2 3 3. a(1-x) (1-3x) + b(1-x)(1-3x)+ c(1-3x) + d(1-x) = 1 => 8d/27 = 1(Set x=1/3) => d = 27/8 1 1 1 ------------- = -------- ------------ 3 3 (1-x) (1-3x) (1-x) [-2+3(1-x)] 1 1 = --------- ----------- 3 -2(1-x) [1-3(1-x)/2] 1 ∞ n = --------- Σ [3(1-x)/2] 3 n=0 -2(1-x) -1/2 -3/4 -9/8 = -------- + ------- + -------- + ... 3 2 (1-x) (1-x) (1-x) => c = -1/2, b = -3/4, a = -9/8 2 4. a(1-x)(1-3x)+b(1-3x)+c(1-x) = 2 => -2b = 2 (Set x = 1), 4c/9 = 2 (Set x = 1/3), a+b+c = 2(Set x = 0) => b = -1. c = 9/2, a = -3/2 9/2 -15/2 1/2 (-4) 9/2 (-9/8) => G(x) = ------- + ------- + ------ + ----- + ------ + ------- 1-x 1-3x 1-x 1-2x 1-3x 1-x (-3/4) (-1/2) 27/8 (-3/2) (-1) 9/2 + --------- + -------- + ------- + -------- + -------- + ------ 2 3 2 (1-x) (1-x) 1-3x 1-x (1-x) 1-3x 19/8 (-7/4) (-1/2) (-4) 39/8 = -------- + -------- + ------ + ------ + -------- 2 3 1-x (1-x) (1-x) 1-2x 1-3x ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n = 19/8Σ x -7/4Σ (n+1)x -1/4Σ (n+2)(n+1)x -4Σ(2x) + 39/8Σ (3x) n=0 n=0 n=0 n=0 n=0 ∞ 2 n n n = Σ[-n /4-5n/2+1/8-4*2 + (39/8)3 ]x n=0 2 n n ∴ a = -n /4-5n/2+1/8-4*2 + (39/8)3 n --

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