作者annheilong (方格子)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] 線代 三線矩陣的特徵值
時間Thu Feb 10 01:54:36 2011
※ 引述《armopen (考個沒完)》之銘言：
: ※ 引述《TKHotaru (阿傑)》之銘言：
: : 題目是
: : ┌ ┐
: : │3 2 0 0 0│
: : │2 3 2 0 0│
: : A = │0 2 3 2 0│
: : │0 0 2 3 2│
: : │0 0 0 2 3│
: : └ ┘
: : 要求出這個三線矩陣的特徵值 我用det(A-λI)去算
: : 代到後來只看見一堆3-x..
: : 所以我只寫了3
: : 總覺得應該有哪裡出了問題
: : 請問這題算出的特徵值是多少呢? 謝謝
: 首先實係數對稱矩陣的特徵值都是實數且可正交對角化.
: 這題算是很經典的遞迴數列考題了，令 det(An - xI) = 0
: 則 0 = det(A_n - xI) = (3-x)det(A_(n-1) - xI) - 4 det(A_(n-2) - xI)
: 所求剛好是 n = 5 的情況, 即
: 0 = det(A_5 - xI) = (3-x)det(A_4 - xI) - 4det(A_3 - xI)
: = (3-x)[(3-x)det(A_3 - xI)] - 4[(3-x)det(A_2 - xI) - 4(3-x)]
: = (3-x){(3-x)[(3-x)det(A_2 - xI) - (3-x)]} - 4[(3-x)(x-5)(x-1) - 4(3-x)]
: = (3-x)^3 (x - 5)(x - 1) - (3-x)^3 - 4(3-x)(x-5)(x-1) + 16(3-x)
: 剩下解方程式應該不難, 留給你吧.
┌ ┐
│3-x 2 0 0 0 │
│2 3-x 2 0 0 │
det(A-xI) = │0 2 3-x 2 0 │
│0 0 2 3-x 2 │
│0 0 0 2 3-x│
└ ┘
= [ (3-x)^5 + 2^4 * 0 + 2^4 * 0 + 0^5 + 0^5 ] -
[ (3-x) * 0^4 + 2^2 * 0^2 * (3-x) *4 ]
= (3-x)^5 + 0 + 0 + 0 + 0 - 0 - 0*4 = (3-x)^5 ...??
為什麼不會是(3-x)^5 呀?
直接用斜線相乘，加減的方法來算det
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◆ From: 61.228.120.81
※ 編輯: annheilong 來自: 61.228.120.81 (02/10 02:00)
1F：推 bboylu:因為你漏了一大堆~5x5的行列式值應該有5!項 02/10 02:07
2F：→ bboylu:所以4x4以上的det不能用像3x3的方法求~只能降階或列化簡 02/10 02:08
3F：→ annheilong:感謝...原來我弄錯這麼多年 02/10 02:10