作者smartlwj (要準備資格考)
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標題Re: [理工] [工數] 瑕積分
時間Mon Dec 6 23:20:45 2010
※ 引述《jetly (阿璋)》之銘言：
: ∞
: ∫ sin(2x^2) dx
: 0
: 請問這題瑕積分該怎麼求解?
: 原本想用拉式 但解不太出來
: 請高手幫忙一下 感謝
提供另一種作法 參考一下
∞ -i2z^2 ∞ 2 ∞ 2
考慮 ∫ e dz = ∫ cos2z dz - i∫ sin2z dz ----(1)
0 0 0
令 u = √2*i^(1/2)*z => du = √2*i^(1/2)dz
-i2z^2 -u^2
則 e = e
π π iπ/2
因為 i = cos--- + i sin--- = e
2 2
-iπ/4
=> i^(-1/2) = e =1/√2 - i/√2
最後全部代換一下
∞ -i2z^2 ∞ -u^2 1 (-1/2)
∫ e dz = ∫ e * --- * i du
0 0 √2
1 1 i ∞ -u^2
= --- * (--- - ---) * ∫ e du
√2 √2 √2 0
1 i √π
= (--- - ---)* ---
2 2 2
√π √π
= --- - --- i --------(2)
4 4
比較(1)(2) 因此得到
∞ ∞ √π
∫ cos2z^2dz = ∫ sin2z^2dz = ---
0 0 4
--
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◆ From: 115.43.192.87
1F：推 ntust661:很不錯!推推 12/06 23:39
2F：推 G41271:用這方法有個問題 怎麼知道i^(-1/2)要代(1-i)/√2 12/06 23:49
3F：→ smartlwj:什麼意思? 12/07 00:15
4F：→ G41271:i^(-1/2)有兩個解呀 12/07 00:22
5F：→ smartlwj:咦 有兩個解!? 另一個是?? 12/07 00:27
6F：推 ntust661:雙值函數阿 12/07 00:35
7F：推 G41271:-(1-i)/√2也可呀,平方後也是1/i 12/07 01:45
8F：推 doom8199:這個方法的一個大問題是 u 是複數，積分區間非 0~inf 12/07 13:27