作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
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標題Re: [理工] [工數] Strum-Liouville邊界值問題
時間Wed Feb 10 17:49:20 2010
※ 引述《ntust661 (Auf Wiedersehen!)》之銘言：
: (1)
: b
: ∫ w(x) y1 y2 dx = 0
: a
: 考慮齊性二階O.D.E邊界值問題 x = [a,b]
: y'' + P(x)y' + λQ(x)y = 0
: B.C
: α1 y1(a) + α2 y1'(a) = 0
: β1 y2(b) + β2 y2'(b) = 0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
邊界條件好像不是這樣寫
應該是:
┌ α1 y(a) + α2 y'(a) = 0
└ β1 y(b) + β2 y'(b) = 0
不是只有限特定的 y1(x) 和 y2(x)
: 設 y1 y2 皆為 ODE 的解 (eigenfunction)
: y1'' + P(x)y1' + λ1Q(x)y1 = 0
: y2'' + P(x)y2' + λ2Q(x)y2 = 0
: 整理後， (y1''y2 - y2''y1) + P(x)(y1'y2 - y2'y1) + (λ1-λ2)Q(x)y1y2 = 0
: 可是發現怎麼整理都整理不出
: b
: ∫ Q(x) y1 y2 dx = 0
: a
: 怎麼回事呢....
若你要由 y'' + P(x)y' + λQ(x)y = 0 下手
假設 y=y1(x) 和 y2(x) 是 ODE 的解 with respect to λ=λ1 and λ2
┌ y1'' + P(x)y1' + λ1*Q(x)y1 = 0 ____(1)
└ y2'' + P(x)y2' + λ2*Q(x)y2 = 0 ____(2)
(2)*y1 - (1)*y2
→ (y2''y1 - y1''y2) + P(x)(y2'y1 - y1'y2) + (λ2-λ1)Q(x)y1y2 = 0
→ (y2'y1 - y1'y2)' + P(x)(y2'y1 - y1'y2) + (λ2-λ1)Q(x)y1y2 = 0
→ W(y1,y2)'(x) + P(x)W(y1,y2)(x) + (λ2-λ1)Q(x)y1y2 = 0
where W(y1,y2)(x) = │ y1(x) y2(x) │ known as the Wronskian
│ y1'(x) y2'(x) │
∫ P(x)dx ∫ P(x)dx
→ W(y1,y2)(x) * e = (λ1-λ2)*∫ e Q(x)y1y2 dx
若左右帶入上下限 (a,b) :
∫ P(x)dx x=b b ∫ P(x)dx
→ W(y1,y2)(x) * e ｜ = (λ1-λ2)*∫ e Q(x)y1y2 dx
x=a a
由邊界條件可知:
┌ α1 y1(a) + α2 y1'(a) = 0
└ α1 y2(a) + α2 y2'(a) = 0
且 ┌ β1 y1(b) + β2 y1'(b) = 0
└ β1 y2(b) + β2 y2'(b) = 0
易知 ┌ W(y1,y2)(a) = 0
└ W(y1,y2)(b) = 0
因此
b ∫ P(x)dx
(λ1-λ2)*∫ e Q(x)y1y2 dx = 0
a
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