作者iyenn (曉風)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-ODE & Laplace
時間Fri Feb 5 09:39:36 2010
※ 引述《t5d (t5d)》之銘言：
: 1
: 1. x^2y'' + xy' - y = --- x為一齊性解 令y=ux
: x+1
Let x=e^t lnx=t
1
->D(D-1)y+Dy-y=----
1+e^t
(D^2-1)yh=0 yh=c1e^t+e^-t
->yp=pe^t+qe^-t
[e^t e^-t ][P']=[0 ]
[e^t -e^-t][Q'] [1/(1+e^t)]
A=-2
-e^-t
A1=------
1+e^t
e^t
A2=------
1+e^t
1 e^-t
P=---S--------dt let e^t=x e^tdt=dx
2 1+e^t
1 -1
=---S--------dx
2 x^2(1+x)
-1 1 1 -1
=---{S---- + --- +---}dx
2 1+x x^2 x
1
=----{x^-1-ln(1+x)+ln(x)}
2
-1 e^t
Q=---S--------dt let e^t=x e^tdt=dx
2 1+e^t
=(-1/2)ln(1+x)
x
->y=c1x+c2x^-1+0.5{1+xln(-----)}-0.5x^-1ln(1+x)
1+x
: 4.xy'' + (2x^2 - 3)y' + (x^3 - 2x + 3/x)y = x^6 ,let y=xu(t) , t=x^2 看不懂QQ
LET y=xu y'=u+xu' y''=2u'+xu''
->x{2u'+xu''}+(2x^2-3){xu'+u}+(x^4-2x^2+3)u=x^6
->x^2u''+{2x^2-1}xu'+x^4u=x^6
let t=x^2
du du dt
--=-----=2xu`
dx dt dx
u''=2u`+4tu``
->
t{2u`+4tu``}+(2t-1)2tu`+t^2u=t^3
4t^2u``+4t^2u`+t^2=t^3
4u``+4u`+u=t
->
let uh=e^mt
4m^2+4m+1=0 m=-1/2 ,-1/2
up=t-4
u=c1e^-1/2t+c2te^-1/2t+(t-4)
=>
y=xu
=x{c1e^(-0.5x^2)+c2x^2e^(-0.5x^2)+x^2-4}
--
為者常成,行者常至.
--
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1F：推 t5d:感謝 題目做昏頭..忘記用等維就能解Orz 02/05 10:12
※ 編輯: iyenn 來自: 123.193.214.165 (02/05 14:21)
2F：推 t5d:哇~~大感謝 終於懂了XD 02/05 15:01