作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] 98年成大工科PDE
時間Wed Feb 3 00:04:35 2010
※ 引述《pitcherking (一般人)》之銘言：
: 第一題中，Laplace方程式中
: 2 2
: 趴修 u(x,y) 趴修 u(x,y)
: ----------- + ------------ = f(x,y)
: 2 2
: 趴修 x 趴修 y
: 0<x<a ，0<y<b
: B.C.：趴修 u(x,0) 趴修 u(x,b)
: ------------ = ------------ = 0
: 趴修 y 趴修 y
: u(0,y)=0 ， u(a,y)=0
: 小弟不才，想請問各位大大，邊界條件都為零時，
: 應該怎麼做呢??
: ORZ....跪求答案
---
你可以用 FT 或 級數解 硬尻
我想用其它方法 :
定義 Ux = Dx(U) 表 U對x偏微
Uy = Dy(U) 表 U對y偏微
Uxx + Uyy = f(x,y)
→ [Dx - tan(x)Dy][Dx + tan(x)Dy]U(x,y) = f(x,y) ____(1)
令 Z = Ux + (tanx)Uy
則 (1) 式可被改寫成:
┌ Zx - (tanx)Zy = f(x,y) ____(2)
└ Ux + (tanx)Uy = Z(x,y) ____(3)
for (2): dx dy dZ
── = ─── = ───
1 -tanx f(x,y)
→ ┌ -tanx dx = dy ____(4)
└ f(x,y) dx = dZ ____(5)
by(4): ln｜cosx｜ = y + c1 ____(6)
帶入(5)式:
dZ = f(x,ln｜cosx｜-c1) dx
x
→ Z = ∫ f(k,ln｜cosk｜-c1) dk + c2 ____(7)
0
由 (6)(7) 可知
x
Z(x,y) = ∫ f(k,ln｜cosk｜-c1) dk + ψ1(ln｜cosx｜ - y)
0
where ψ1(m) is any function of m
---
(3) 式亦能仿造 (2) 式的推導
因此原 P.D.E. 的解為:
x
┌ Z(x,y) = ∫ f(k,ln｜cosk｜-c1) dk + ψ1(ln｜cosx｜ - y)
│ 0
│
│ x
└ U(x,y) = ∫ Z(k,-ln｜cosk｜-c2) dk + ψ2(-ln｜cosx｜ - y)
0
再把初始條件帶入決定出 c1、c2、ψ1()、ψ2() 的關係
--
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◆ From: 61.64.93.41
※ 編輯: doom8199 來自: 61.64.93.41 (02/03 00:09)
1F：推 pitcherking:orz~~太感謝了... 02/03 12:13
2F：推 ntust661:硬尻阿... 02/03 21:33
3F：推 zeowo:標題錯誤喔 02/03 21:36