作者ytyty (該換個版潛水了™ )
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-齊次ODE
時間Mon Feb 1 19:56:05 2010
※ 引述《mdpming (阿阿 要加油)》之銘言：
: 2 2 2 2
: (x + 2xy - y )dx + (y + 2xy - x )dy = 0
: 答案是
: 2 2
: x + y
: -------
: x+y
: y
: 我另 u = ---
: x
: 算到
: 2 2 2 2 2
: x dx + x (udx - xdu) + x u(2xdu + udx) + x u (xdu + udx) = 0
: 2 2 2 x 2 2 2 2
: x dx + x u d(---) + x d(u x) + x u d(xu) = 0
: u
: 2
: 然後同除 x
: 就卡了...
homogeneous的類型~
2 2 2 2
(x + 2xy - y )dx + (y + 2xy - x )dy = 0
2 2 2 2
(y + 2xy - x )dy = (y - 2xy - x )dx
2 2 2
dy y - 2xy - x (y/x) - 2(y/x) - 1
── = ────── = ─────────
dx 2 2 2
y + 2xy -x (y/x) + 2(y/x) - 1
y
令 u = ──
x
y = ux
dy du u^2 - 2u - 1
── = u + x*── = ───────
dx dx u^2 + 2u - 1
du u^2 - 2u + 1 u^2 - 2u - 1- u^3 - 2u^2 + u
x*── = ─────── - u = ──────────────
dx u^2 + 2u - 1 u^2 + 2u - 1
du -u^3-u^2-u-1
x*── = ──────
dx u^2 + 2u - 1
u^2 + 2u - 1 1
────── du = ── dx
-u^3-u^2-u-1 x
-u^2 - 2u + 1 1
∫────── du = ∫─ dx
(u+1)(u^2+1) x
令
-u^2 - 2u + 1 A Bu+C
────── = ─── + ────
(u+1)(u^2+1) u+1 u^2+1
去分母得
-u^2 - 2u + 1 = A(u^2+1) + (Bu+C)(u+1)
= Au^2 + A + Bu^2 + Bu + Cu + C
= (A+B)u^2 + (B+C)u + (A+C)
比較係數得
A+B=-1 A= 1
B+C=-2 解得 B=-2
A+C= 1 C= 0
所以
1 2u 1
∫──- ──── du = ∫─ dx
u+1 u^2+1 x
1 (u^2+1)' 1
∫──- ──── du = ∫─ dx
u+1 u^2+1 x
ln│u+1│ - ln │u^2+1│ = ln│x│ + c*
將u=y/x代回
│ (y/x)+ 1 │
ln│────── │ = ln│x│ + c*
│(y/x)^2 + 1 │
補一下化簡
xy + x^2
────── = x*e^(c*) 令e^(c*)=c
y^2 + x^2
x + y
────── = c
y^2 + x^2
或
x^2 + y^2
────── = c
x + y
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最近很流行部份分式喔XD
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◆ From: 125.231.102.189
1F：推 mdpming:.................. 02/01 20:00
※ 編輯: ytyty 來自: 125.231.102.189 (02/01 20:04)
※ 編輯: ytyty 來自: 125.231.102.189 (02/01 20:05)
※ 編輯: ytyty 來自: 125.231.102.189 (02/01 20:07)
2F：推 mdpming:研究一下 02/01 20:13
3F：→ ytyty:只要未知數都是同次方的，多半就是homogeneous~ 02/01 20:14
4F：→ ytyty:記得先分好，再代u=y/x進去 02/01 20:15
5F：推 mdpming:那我算的 已經不能分了嗎@@ 02/01 20:20
6F：→ kagato:...這樣分解一題命就去半條了QQ 02/01 22:46