作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-特殊laplace
時間Wed Jan 27 19:34:21 2010
※ 引述《smallprawn (水中瑕)》之銘言：
: ◎L{J (2√(at)}
: 0
: 如何先找出ODE的解去解這題?然後去解他= =?
: 而且要設立什麼樣的條件?!
: 又要再度麻煩高手了= =!!|||||
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已知
xy'' + y' + xy = 0 with y(0)=1 , y'(0)=0
的解為 y = J_0(x)
令 x = 2√(at)
則原 ODE 可改寫成
ty'' + y' + ay = 0 with y(0)=1 , y'(0)=0
( 這裡的 y 是 y = y(t) )
d
→ - ──[ (s^2)Y - s ] + (sY - 1) + aY = 0
ds
→ -[ 2sY + (s^2)Y' - 1 ] + sY - 1 + aY = 0
→ (s^2)Y' + (s - a)Y = 0
e^(-a/s)
→ Y = C ─────
s
由 初值定理可知
lim J_0[2√(at)] = lim sL{J_0[2√(at)]}
t→0 s→∞
= lim C*e^(-a/s)
s→∞
= C
→ 1 = C
e^(-a/s)
因此 Y = ─────
s
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應該是這樣吧
剛剛還去查了一下 Bessel 的定義 OTZ
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.141.151
1F：→ doom8199:順便提醒一下，初值定理的 t是由 0+靠近的，忘了打 "+" 01/27 19:39
2F：推 Dola1003:正解! 01/27 19:39
3F：→ iyenn: d大人真好 (遞卡 01/27 20:38
4F：推 smallprawn:請問原來xy'' + y' + xy = 0.x代入.為什麼不等於 01/27 20:49
5F：→ smallprawn:ty'' + y' + ay = 0..= =!!? 01/27 20:49
6F：→ smallprawn:不是2√(at)y'' + y' + 2√(at)y = 0..!? 01/27 20:50
7F：→ iyenn:變數要跟著變........ 01/27 21:10
8F：→ iyenn:微分項也要做代換...... 01/27 21:10
9F：推 smallprawn:我不才= =.請i大推導中間演變過程.. 01/27 21:37
10F：→ smallprawn:在此感謝d大 m(_ _)m 01/27 21:39
xy'' + y' + xy = 0 → 這個是 y對x 的2階 O.D.E.
若令 x = 2√(at)
→ t = x^2/(4a)
dy dt dy
── = ──*──
dx dx dt
x dy
= ──*──
2a dt
d dy d x dy
── ── = ──[ ──*── ]
dx dx dx 2a dt
dy d x x d dy
= ── * ──(──) + ──*──(──)
dt dx 2a 2a dx dt
1 dy x dt d dy
= ──* ── + ──* ──*──(──)
2a dt 2a dx dt dt
1 dy x^2 d^2 y
= ──*── + ──* ───
2a dt 4a^2 d t^2
把上面那兩團代回原 O.D.E.
再把變數 x 改成 2√(at)
整理一下就可以得到 y 為 t 的二階 O.D.E.
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (01/27 21:51)
11F：推 smallprawn:m(_ _)m m(_ _)m m(_ _)m...感謝d大.. 01/27 22:16
12F：推 ntust661:帥壓!老埤! 01/28 09:36