※ 引述《winer8 (快來明星3 缺1 )》之銘言： : .1.find a formal fourier series solution of the endpoint value problem : x"+4x=4t x(0)=1 x(1)=0 : n+1 : ∞ 1 4(-1) : 答案 x=2Σ --------- [-------- - nπ] sin nπt : n=1 4-n^2π^2 nπ 0 - 1 令z(t) = ─────t +1 = -t+1 修邊界 1 令x(t) = y(t) + z(t) = y -t +1 x(0) = y (0) + 1 = 1 y(0) = 0 x(1) = y (1) -1 +1 = 0 y" + 4y - 4t + 4 = 4t y" + 4y = 8t-4 ∞ 邊界有了 用PDE的特徵函數展開法 {sinnπt} 1 ∞ y(t) = Σ cnsinnπt n=1 ∞ 8t-4 = Σ ansinnπt n=1 1 an = 2∫ (8t-4)sinnπt dt 0 8 n an = ──(-1 - (-1) ) nπ ∞ 2 2 Σ{[-nπ + 4]cn - an}sinnπt n=1 an 8 n cn = ────── = ─────── (-1-(-1)) 4-n^2π^2 (4-n^2π^2)nπ ∞ y(t) = Σ cnsinnπt n=1 把cn代回吧 然後X(t) = y(t) -t +1 就是解答了 感覺好像跟你給的答案不同 : 2.x(t)=1 -0.5 <t<0.5 x(t)=0 otherwise : ∞ sinwcos(2w) : find S ------------dw : -∞ w : 答案 0 我不知道他給的x(t)要幹啥= = 我直接把他要求的抓起來積分 ∞ sin3z - sinz ∫ ─────────dz -∞ 2z iθ iθ 令z=re dz = ire dθ r->∞ π e^i3θ - e^iθ iθ IM ∫ ───────── ire dθ 0 re^iθ ie^3iθ ie^iθ | π =im ( ──── - ─── ) | 3i i | 0 sin3θ │ π = (──── - sinθ) │ = 0 3 │ 0 這題我亂想的= = 我不知道他給前面那串做啥 : 3.x(t)=∣t-1∣ , 0<t<2 x(t+2)=x(t) ,expand into fourier series : ∞ inwt ∞ : x(t)= Σ Xn e = a0 +Σ an cosnwt +bn sinnwt : n=-∞ n=1 : ∞ : find (1)Xn (2)an bn (3)Σ an cos(1/2)nw : n=1 : 1 : 答案(1)Xn=--------[1-cosnπ] , n≠0 X0=1/2 w=π : n^2π^2 : 2 : (2)a0=1/2 ak=------- [1-cosnπ] , bn=0 : n^2π^2 : ∞ : (3) Σ an cos(1/2)nw=0 : n=1 (1) 1 ∞ -inπt cn = ──∫ |t-1|e dt 2 -∞ 2 1 = ── ∫ 1-t(cosnπt)dt 2 0 1-cosnπ = ──────── n=/=0 n^2π^2 2 1 1 c0 = ──∫ 1-t dt = ─── 2 0 2 (2) 2 1 1 a0 = ──∫ 1-t dt = ─── 2 0 2 2 1 2(1-cosnπ) an = ───∫ (1-t)cosnπt dt = ──────── n=/=0 1 0 n^2π^2 第(3)題看不懂 an跟他給的好像不搭嘎 = = 第二題感覺好像這樣解也有點問題 --

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