作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-ODE
時間Sun Jan 3 23:07:34 2010
※ 引述《smallprawn (水中瑕)》之銘言：
: -x
: 1.y'''+4y''+5y'+2y=4e
: -x -x -2x 2 -x
: 得 y=c1e +c2xe +c3e +2x e
原文恕刪部份
丟一下我的作法:
回想一下巴斯卡三角形的係數:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
若我把第三排和第四排的係數加起來
會是 1 4 5 2
剛好和題目所給的 ODE 係數一樣
這不是巧合
因為:
y''' + 4y'' + 5y' + 2y = 4e^(-x)
→ (ye^x)''' + (ye^x)'' = 4 ____ 視 (ye^x)'' 為 x 的 1階 O.D.E.
→ (e^x)(ye^x)'' = 4e^x + c1
→ (ye^x)'' = 4 + c1*e^(-x)
→ ye^x = 2x^2 + c1*e^(-x) + c2*x + c3
→ y = 2x^2*e^(-x) + c1*e^(-2x) + c2*xe^(-x) + c3*e^(-x)
您所解出來的特解是對的
: x
: 2.y'''+4y''+4y'=-3xe
: -2x -2x x x
: 正確答案為 y=c1+c2e +c3xe -(1/3)xe +(5/9)e
仿造前面的想法:
y''' + 4y'' + 4y' = -3xe^x
→ (y'e^x)'' + 2(y'e^x)' + (y'e^x) = -3xe^(2x)
→ [(y'e^x)*e^x]'' = -3xe^(3x)
→ y'e^(2x) = -(x/3)e^(3x) + (2/9)e^(3x) + c1*x + c2
→ y' = -(x/3)e^x + (2/9)e^x + c1*xe^(-2x) + c2*e^(-2x)
→ y = [-(x/3)e^x + (1/3)e^x]
+ (2/9)e^x
+ c1*[(-1/2)xe^(-2x) - (1/4)e^(-2x)]
+ c2*(-1/2)e^(-2x) + c3
= -(x/3)e^x + (5/9)e^x + (-c1/2)xe^(-2x) + (-c1/4 - c2/2)e^(-2x) + c3
= -(x/3)e^x + (5/9)e^x + c1'*xe^(-2x) + c2'*e^(-2x) + c3
其中 c1' = -c1/2
c2' = -c1/4 - c2/2
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◆ From: 140.113.141.151
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (01/03 23:18)
1F：推 JaLunPa:跪拜 01/03 23:20
2F：推 abcxyz123:這..不推不行!! 01/04 00:06
3F：推 CRAZYAWIND:每次看到D大用這種解法 感覺就看到神蹟一樣= = 01/04 00:07
4F：推 mdpming:請問這位高手 推甄應該有上吧..=.= 01/04 00:19
5F：→ QQkimi:腰壽! 這不拜怎麼行呢! m(_ _)m 01/04 00:43
6F：→ honestonly:每次看到D大用這種解法 感覺就看到神蹟一樣= = (推齊) 01/04 00:55
7F：→ doom8199:突然發現我這做法有 bug , 尚待修正 QQ 01/04 03:54