※ 引述《kagato (包)》之銘言： : ∞ ln(1+x) : 1. ∫ _________dx Ans: (πln2)/2 : 0 1+x^2 令 x = tanθ 則: ∞ ln(1+x) π/2 ∫ ──── dx = ∫ ln(1 + tanθ) dθ 0 1+x^2 0 π/2 = ∫ ln(cosθ + sinθ) - ln(cosθ) dθ 0 π/2 = ∫ ln[√2 * cos(θ-π/4)] - ln(cosθ) dθ 0 πln2 π/2 π/2 = ─── + ∫ ln[cos(θ-π/4)] dθ - ∫ ln(cosθ) dθ 4 0 0 πln2 π/4 = ─── + ∫ ln(cotθ) dθ 4 0 用複變的方法包不太出來 　　所以嘗試用積分技巧去算 　　結果算到後面那個詭異的定積分 　　區間不對稱也不知道怎麼算 OTZ 　　若有大大會算的煩請指點一下 QQ : ∞ sinax : 2. ∫ ________ dx Ans: 1/2a - π/2sinh(πa) : 0 1+ exp^x : 試不太出來，拜託板上神人了Orz.. 考慮以下的積分區間: ^ c6 │ ____________________ i2π ┤| | │|c1 | │| | │|--- | c5 iπ ┤ | c2 | 　　│---| | 　　│|c3 c4 | │|___________________| 0 └─────────────> c1: straight line from z=2πi to z=(π+ρ)i c2: right circle |z-πi| = ρ from z=(π+ρ)i to z=(π-ρ)i (不知道怎麼畫小圓, 所以畫的很像矩形 QQ) c3: straight line from z=(π-ρ)i to z=0 c4: straight line from z=0 to z=R c5: straight line from z=R to z=R+2πi c6: straight line from z=R+2πi to z=2πi 考慮定積分: e^(iaz) ∮ ──── dz = 0 , where C = c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 C 1 + e^(z) e^(iaz) e^(ia*πi) ∫ ──── dz = -πi * ───── (single pole at z=πi) c2 1 + e^(z) e^(πi) = iπe^(-aπ) e^(iaz) R e^(iax) 0 1 + e^[ia(x+2πi)] ∫ ──── dz = ∫ ──── dx + ∫ ───────── dx c4+c6 1 + e^(z) 0 1 + e^x R 1 + e^(x+2πi) R e^(iax) R 1 + e^(iax)* e^(-2aπ) = ∫ ──── dx - ∫ ─────────── dx 0 1 + e^x 0 1 + e^x R e^(iax) = [1 - e^(-2aπ)] ∫ ──── dx 0 1 + e^x e^(iaz) 0 e^(iaz) lim ∫ ──── dz = ∫ ──── dz R→∞ c1+c3 1 + e^(z) 2πi 1 + e^(z) ρ→0 0 e^(-ax) = ∫ ───── i*dx 2π 1 + e^(ix) 0 e^(-ix/2) *e^(-ax) = ∫ ───────── i*dx 2π 2cos(x/2) 0 e^(-ax) 0 e^(-ax) = ∫ ───── dx + i*∫ ──── dx 2π 2cot(x/2) 2π 2 1 - e^(-2aπ) = k - i ────── ____(1) 2a 　　 e^(iaz) 2π ｜ ∫ ───── dz｜ ≦ ─────── by M-L Inequality 　c5 1 + e^(z) ｜1 + e^(z)｜ 　　 2π ≦ ─────── 　 ｜1 - e^(R)｜ 　　 e^(iaz) 所以 lim ｜ ∫ ───── dz｜ = 0 　 R→∞ c5 1 + e^(z) --- lim e^(iaz) 因此 R→∞ ∮ ──── dz = 0 ρ→0 C 1 + e^(z) 1 - e^(-2aπ) ∞ e^(iax) → k - i ────── + iπe^(-aπ) + [1 - e^(-2aπ)] ∫ ──── dx = 0 2a 0 1 + e^x ∞ e^(iax) k 1 πe^(-aπ) → ∫ ──── dx = ─────── + i*[ ── - ────── ] 0 1 + e^x 1 - e^(-2aπ) 2a 1 - e^(-2aπ) k 1 π = ───────── + i*[ ── - ───── ] 2e^(-aπ)*sinh(aπ) 2a 2sinh(aπ) ∞ cos(ax) 1 0 e^(-ax) 即 ┌ ∫ ──── dx = ───────── ∫ ───── dx ____by (1) │ 0 1 + e^x 2e^(-aπ)*sinh(aπ) 2π 2cot(x/2) 　　 │ 　 　│ ∞ sin(ax) 1 π 　　└ ∫ ──── dx = ── - ───── 0 1 + e^x 2a 2sinh(aπ) --

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