作者ntust661 (661)
看板Grad-ProbAsk
標題[提供] [動力學] 鏈條滑下速率υ的正解。
時間Thu Dec 10 17:52:03 2009
因為之前在板上PO過，這題還蠻經典的。
我終於找到方法了，所以PO上來分享囉!
├─ L - b ─┤
│ │
│ │
ΘΘΘΘΘΘΘΘΘ ＿＿
Φ
Φ b
Φ
Φ＿＿
首先這是個不穩定平衡 ( Unstable Equilibrium )
輕微的擾動，就會讓物體開始運動。
就跟解微分方程一樣，要有初始值才行。他給了 b 這個東西
我們就要先開始解 b
--
條件
鏈條密度 ρ
落下鏈條長 b
摩擦係數 μ
鏈條張力 T
重力加速度 g
--
首先在平衡下
垂下來的
Σ F = 0 ， T - m g = 0
y 1
T - ρbg = 0
躺在上面的
Σ F = 0 ， T - μN = 0
x
T - μm g = 0
2
T - μρ(L-b)g = 0
┌─ T - μρ(L-b)g = 0
│
聯立 ──┤
│
└─ T - ρb g = 0
μρ(L-b)g = ρb g
μ(L-b) = b
μL
μL - μb = b ， b = ────
1 + μ
然後這時候加入微小擾動，讓落下鏈條長變成 b + Δb
開始設動力方程式
假設鏈條移動了 x 長 (當然要比 b 長一點)
ρx g - μρ(L-x)g = ρ L a
↓ ↓ ↓
m g μN Σm a
1
x g - μg(L-x) = L a
g
a = ── ( x (1 + μ) - μL )
L
L V
∫adx = ∫vdv
b 0
1 2 g 1 2 │L
── V = ── ( ──(1 + μ) x - μ(L)x )│
2 L 2 │b
g 1 2 2 1 2
= ── [(──(1 + μ)L - μL ) - [(──)(1 + μ)b - μLb] ]
L 2 2
g 1 2 1 2
= ── [──(-1 + μ)L - ──( 1 + μ)b + μLb]
L 2 2
帶入 b
2 2 2
g 1 2 1 μ L L μ
= ── [──(-1 + μ)L - ──(───) + ──── L ]
L 2 2 1 + μ 1 + μ
2 2 2 2 2
1 g L - μ L μ L
= ── ── (───────── + ───── )
2 L 1 + μ 1 + μ
2
g L
= ──── (────)
2 L 1 + μ
2 g L
V = ─────
1 + μ
答案就出來哩@_@
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有需要的話我在打能量解(但應該只是差在 b 有沒有寫吧!?)
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.118.234.83
1F：推 youmehim:所以μ既是動摩擦係數 也是靜摩擦係數囉 12/10 18:27
2F：→ youmehim:突然想到 假如是加微擾的話 當作鏈條已突破靜摩擦也合理 12/10 18:30
3F：→ ntust661:對 12/10 18:50
4F：→ boy210637:有興趣的話阿 去試試Lagrange eq.來解解看 12/10 21:06
5F：→ ntust661:樓上可以指引我一下嘛? 12/10 22:42
6F：推 squallting:lagrange解運動方程式爆快 12/10 22:48
7F：→ ntust661:可以分享嗎QQ 12/10 22:49
8F：→ boy210637:建議你先去找書來看 自己先弄懂 這樣對你以後動力學有很 12/10 22:52
9F：→ boy210637:大的幫助 12/10 22:52
10F：→ boy210637:這個已經算有點研究所的課程了 12/10 22:53
11F：→ boy210637:其實他對保守系統真的超快 但非保守系統真的就很複雜了 12/10 23:29
12F：推 qoodeva:推lagrange 12/11 01:32