※ 引述《CRAZYAWIND (怒火燒不盡)》之銘言： : 3 2 6x^3 : x y''' - 4x y'' + 8xy' - 8y = ──────── <<94中興化工>> : (x^2 + 1 )^3/2 : 這題yp項= = 我算了好久 用部份分式 或是重積分法 加上 三角代換 : 都展不回他給的答案 3 5 : 2 4 2x + 4x + 2x : y(x) = c1x + c2x + c3x - ───────── : √(1+x^2) --- 6x^3 (x^3)y''' - (4x^2)y'' + (8x)y' - 8y = ─────── (x^2+1)^(3/2) y''' 4y'' 8y' 8y 6 → ── - ── + ── - ── = ───────── x^2 x^3 x^4 x^5 x^2 * (x^2+1)^(3/2) y'' 2y' 2y 6 → [ ── - ── + ── ]' = ───────── x^2 x^3 x^4 x^2 * (x^2+1)^(3/2) (y/x)'' 6 → [ _______ ]' = ───────── x x^2 * (x^2+1)^(3/2) (y/x)'' 6 → _______ = ∫ ───────── dx (令 u=1/x) x x^2 * (x^2+1)^(3/2) -6*u^3 = ∫ ─────── du (1+u^2)^(3/2) 6*u^2 6* 2u = ───── - ∫ ───── du √(1+u^2) √(1+u^2) 6*u^2 = ───── - 12√(1+u^2) + 6*c1 √(1+u^2) 6 12*√(1+x^2) = ───── - ────── + 6*c1 x√(1+x^2) x 6 → (y/x)'' = ───── - 12√(1+x^2) + (6*c1)x √(1+x^2) -1 -1 → (y/x)' = 6*sinh (x) - 6*[sinh (x) + x√(1+x^2)] + (3*c2)x^2 + c3 = -6*x√(1+x^2) + (3*c2)x^2 + c3 → (y/x) = ∫-6*x√(1+x^2) dx + c2*x^3 + c3*x + c4 = -2*(1+x^2)^(3/2) + c2*x^3 + c3*x + c4 or y = -2x(1+x^2)^(3/2) + c2*x^4 + c3*x^2 + c4*x ps: 以上積分可以假設 x = sinhθ 或 x = tanθ 去代換 ------------------------------------------------------------------------------ 考試若真的考出來 這樣的算法穩定性似乎不高 OTZ 所以提供一個比較穩定的作法: 先求齊性解: L(D)yc = 0 , 其中領導係數為 1 以上面那題為例 用 "任何方法" 解出 yc = c1*x^4 + c2*x^2 + c3*x → (yc/x) = c1*x^3 + c2*x + c3 → (yc/x)' = c1*3x^2 + c2 → (yc/x)'' = c1*6x → (yc/x)''/x = 6*c1 → [(yc/x)''/x]' = 0 所以可知道 (x^3)*[(yc/x)''/x]' = L(D)yc = 0 因此最後要解 O.D.E. L(D)y = f(x) 就直接代換成 (x^3)*[(yc/x)''/x]' = f(x) 去解 線性 O.D.E. 有幾階 就積分幾次XD 我覺得這樣算會比 variation of parameter 這方法還快很多 ＝＝ --

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