作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-高階非線性O.D.E
時間Tue Dec 8 19:56:41 2009
※ 引述《zendla (夏夜薄荷)》之銘言：
: 出現三角的題目，感覺不是很好做啊，請大大們教一下
: Find the solution of the nonlinear ordinary differential equation
: y" + siny = 0
: with initial conditions: y(0) = 0, y'(0) = 2. [清大工科]
: y y
: ans:ln|sec── + tan──| = x
: 2 2
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感覺這題作法很多樣化
我是這樣想:
y" + siny = 0
→ y'(y'' + siny) = 0 for y'≠0
(y')^2
→ [ ______ - cosy ]' = 0
2
→ (y')^2 - 2cosy = c1
把 x=0 帶入:
2^2 - 2cos0 = c1 → c1 = 2
所以 (y')^2 = 2cosy + 2
→ y' = ± 2cos(y/2)
→ ∫ (1/2)sec(y/2) dy = ∫ ±1 dx
→ ln｜sec(y/2) + tan(y/2)｜ = ±x + c2
再由 y(0)=0 可解出 c2=0
y'(0)=2 可知 ln｜sec(y/2) + tan(y/2)｜ = -x 不合
因此 ln｜sec(y/2) + tan(y/2)｜ = x
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◆ From: 140.113.141.151
1F：→ boy210637:看到這題我的直覺反應是用拉式做= = 不過你這樣比較快 12/08 20:14
2F：推 iyenn: m(_ _)m 12/08 20:20
3F：推 zendla:請問y'(y"+siny)=0怎麼到[(y')^2/2 - cosy]'=0這一式 12/08 20:26
4F：推 iyenn: 因為D大開天眼看的(逃 12/08 20:49
5F：推 shinyhaung:看來D大已經練到每一題都用正合來解了 超神 12/08 20:57
6F：→ birdhackor:用自變數不出現也可以 12/08 20:59
7F：→ zendla:我前面是令p=y'，pdp/dy=y"，後面就學D大的算法了 12/08 21:03
8F：推 boy210637:D大有輪迴眼 XD 12/08 21:06
9F：推 ntust661:拉式不可能 12/08 21:06
10F：→ ntust661:Lsin(y) = ? 12/08 21:07
11F：→ boy210637:我是說直覺上啦 不一定可以做 呵呵 12/08 21:10
12F：推 ntust661:話說今天上德文課我也忽然在腦筋中想到這題XD 12/08 21:11
13F：→ ntust661:結果回來看到這篇文章@_@ 12/08 21:11
14F：→ zendla:我幫你想的具體化了= = 12/08 21:13
15F：→ boy210637:你們有一腿(誤) 12/08 21:14
16F：推 birdhackor:我覺得這個難在一階高次耶...我沒想到要半角 12/08 21:15
17F：推 ntust661:看到之後就讓我想到單擺XD 12/08 21:16
18F：→ ntust661:1 + cos t = 2cos(t/2)^2 12/08 21:16
19F：推 kagato:d大能提供一下其他作法嗎~ 12/08 21:22
20F：推 pigmow:非線性可用taylor級數解 12/08 23:57
21F：→ doom8199:正規解就是上面推文說的，令 y'' = p*(dp/dy) 去解 12/09 01:35
22F：→ doom8199:不過兩個好像是一樣的東西 OTZ 12/09 01:38