作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-Laplace之反轉換
時間Thu Nov 26 17:51:27 2009
※ 引述《zendla (夏夜薄荷)》之銘言：
: 有點兒困難的兩題，請高手幫忙解解看。第二題出現exp的型式@@a，看到就暈了= =...
: 第一題的答案很長，"*"是折積，不是乘號。若解出其中任何一題懇請打個詳解_(_._)_
: s
: 1.F(s)=———————————— [交大土木]
: [(s+2)(s^2+2s+10)]^2
: 1 1 1 11
: ans: ——e^(-2t) - ——te^(-2t) + ——[-e^(-t)cos3t + ——e^(-t)sin3t]
: 500 50 500 3
: 1 1
: + ——(e^(-t)sin3t)*(e^(-t)sin3t) - ——(e^(-t)sin3t)*(e^(-t)cos3t)
: 45 50
---
我是這樣想:
-1 -t -1 s-1
L {F(s)} = e * L { ___________________ }
(s+1)^2 * (s^2+9)^2
-t
= e * y(t)
後面的 y(t) 等價於解以下的 ODE:
2 -t
(D^2 + 9) y = (1-2t)e *u(t)
with y(0) = y'(0) = y''(0) = y'''(0) = 0
可以用逆運算子去解 yp , 不過考試應該不能這樣寫 = =
所以看是要假設 u = y'' + 9y 去降階
、未定係數法、 或是其它方法
在這裡還是偷用一下逆運算子 QQ
yc = c1*tcos(3t) + c2*tsin(3t) + c3*cos(3t) + c4*sin(3t)
1 -t
yp = _________ (1-2t)e
(D^2+9)^2
-t 1
= e * _____________ (1 - 2t)
[(D-1)^2+9]^2
-t 1 1
= e * [ ___ + ___D + ... ] ( 1 - 2t)
100 250
-t 1 t 1
= e *[ ___ - ___ - ___ ]
100 50 125
-t 1 t
= e *[ ___ - ___ ]
500 50
-1
即 L { F(s) }
-t
= e *[ yc + yp ]
-t
= e *{ c1*tcos(3t) + c2*tsin(3t) + c3*cos(3t) + c4*sin(3t)}
-2t 1 t
+ e *[ ___ - ___ ] for t>=0
500 50
至於 c1 ~ c4
就由 y(t) = yc + yp 帶入 y(0) = y'(0) = y''(0) = y'''(0) = 0 去解
好像也沒有比較快就是了 = =
-1
不過 c3 可以馬上看出是 ____ , 感動ing QQ
500
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