※ 引述《winer8 (快來明星3 缺1 )》之銘言： 為了和乘號 * 作區隔 convolution 會用 "⊕" 符號代替 = =ll : -1 -2∣w+2∣ : 1.find f(t)=F [F(w)] F(w)=e cos(3w+6) : -j2t : e 1 1 : 答案 f(t)=----- [----------- + -------- ] : π 4+(3+t)^2 4+(3-t)^2 -i2t -1 f(t) = e * F { F(w-2) } -i2t -1 -2|w| -1 = e * F { e } ⊕ F { cos(3w) } -i2t 2/π δ(t+3) + δ(t-3) = e * [ _________ ]⊕[ _________________ ] t^2 + 2^2 2 -i2t 1 1 1 = e * ___ * [ ___________ + ___________ ] π (t+3)^2 + 4 (t-3)^2 + 4 : -x : 2.find fourier integral f(x)=e ,x>0 and f(x)=0 x<0 and evaluate : ∞ coswx+xsinwx : ∫ ----------- dx : 0 1+x^2 : 1 ∞ coswx+wsinwx ∞ coswx+xsinwx πexp(-w) w>0 : 答案 f(x)=----∫ ----------- dw ∫ ----------- dx= 0.5π w=0 : π 0 1+w^2 0 1+x^2 0 w<0 ∞ -x -iwx F{ e^(-x)*u(x) } = ∫ e * e dx 0 e^[-(1+iw)x] x=k = lim ____________ ｜ k→∞ -(1+iw) x=0 e^[-(1+iw)k] - 1 = lim ________________ k→∞ -(1+iw) 1 = ______ 1 + iw ∞ cos(wx) + x*sin(wx) ∫ ___________________ dx 0 1 + x^2 1 ∞ e^(iwx) e^(-iwx) = ___ ∫ _______ + ________ dx 2 0 1 + ix 1 - ix 1 ∞ e^(iwx) = ___ ∫ _______ dx 2 -∞ 1 + ix = πe^(-w)*u(w) (由前面的結論可知) ps: 當 w=0 , 答案會差兩倍 　　　　 是因為這裡的 u(w) 定義為 Heaviside step function : ∞ w^3sinwx π : 3.prove ∫ -----------dw=------exp(-x)cosx if x<0 : 0 4+w^4 2 考慮 ∞ w^3 iwx ∫ _______*e dw -∞ w^4 + 4 ∞ w^3 iwx = ∫ ____________________* e dw -∞ (w^2+2w+2)(w^2-2w+2) ∞ (w+1)/2 (w-1)/2 iwx = ∫ [ __________ + __________ ] * e dw -∞ (w^2+2w+2) (w^2-2w+2) ∞ (w+1)/2 (w-1)/2 iwx = ∫ [ ___________ + ___________ ]* e dw -∞ (w+1)^2 + 1 (w-1)^2 + 1 -ix -1 w/2 ix -1 w/2 = 2π*[ e * F { _______ } + e * F { _______ } ] w^2 + 1 w^2 + 1 -1 w = 2πcosx * F { _______ } w^2 + 1 1 d -1 1 = 2πcosx * ___ ___ F { _______ } i dx w^2 + 1 1 d -|x| = 2πcosx * ___ ___ e 2i dx = ┌ iπcosx * e^(-x) if x>0 　　 └ -iπcosx * e^(x) if x<0 所以原積分 = ┌ (π/2)cosx * e^(-x) if x>0 │ 0 if x=0 └ -(π/2)cosx * e^(x) if x<0 ps1: 注意題目的積分區間、與我所做的積分區間相差兩倍 ps2: 解答怪怪的，沒有 x>0 的case = = ps3: 也可以用 convolution 去做 ps4: 當 x=0 , 直接帶入原積分會 = 0 --

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