※ 引述《alex2014 (綠影)》之銘言： : 這是政大財政所的統計考題,雖說是統計, : 但是需運用到積分,題目如下: : f(x) = (√2/√π)*exp{-x^2/2} 0 < X <∞ : 要求Var(X) : 但是我不太會積 E(X^2) , 運用變數變換時 ,對於啞變數的更動不熟悉 : 懇請高手們幫忙! 小弟在此先謝過! : 感激不敬! 其實推文的大大提示很多了.. 我只是幫忙算出來 ∞ α-1 -w 先介紹 gamma function : Γ(α) ≡ ∫ w e dw 0 一些等等可能會用到的性質： Γ(α) = (α-1)Γ(α-1) < 分部積分可以得到 > Γ(n)=(n-1)! , n為正整數 < 套用上面的性質 > Γ(1/2) = √π < 轉極座標可以得到= = > α ∞ α-1 -λy 令 w=λy 可以得到 : Γ(α) / λ = ∫ y e dy 0 這個積分在統計中很有用.. 等等應該會用到這個積分... -----------------------題外話------------------------------------- ∞ α α-1 -λy 其實可以看出 ∫ [λ /Γ(α)] y e dy = 1 0 α α-1 -λy f(y) = [λ /Γ(α)] y e ; y>0 就是 gamma 分配的 pdf .. ------------------------------------------------------------------- 那我們就來計算 Var(X) ... 2 ∞ -x /2 E(X) = ∫ x * √(2/π) * e dx 0 2 看得出來指數上面的平方有點討厭.. 所以我們令 y= x /2 → dy = xdx , x= √(2y) , dx = 1/√(2y) dy ∞ -y E(X) = √(2/π) ∫ √(2y) * e * 1/√(2y) dy 0 ∞ -y = √(2/π) ∫ e dy 0 = √(2/π) ∞ -y ∞ 1-1 -1*y 1 其實 ∫ e dy 可以看成 ∫ y e dy = Γ(1)/1 = 0! = 1 啦.. 0 0 但這個積分太好算了..用gamma的性質真的是拿牛刀 = = 2 2 ∞ 2 -x /2 2 E(X ) = √(2/π) ∫ x * √(2/π) * e dx < 一樣令 y= x /2 > 0 ∞ -y = √(2/π) ∫ 2y * e * 1/√(2y) dy 0 ∞ 3/2 -1 -1*y = 2/(√π) ∫ y e dy 0 3/2 = 2/(√π) * Γ(3/2) / 1 = 2/(√π) * (1/2) * Γ(1/2) = 1/(√π) * (√π) = 1 2 2 Var(X) = E(X ) - [E(X)] = 1 - π/2 其實這題..好像感覺不出來gamma有多好用...XDD 我想主要是因為λ=1吧.. (逃~) --

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