作者jmKevin ( )
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-P.D.E.
時間Mon Nov 16 09:55:58 2009
※ 引述《iyenn (曉風)》之銘言：
: ※ 引述《Nowitzness (Nowitzness)》之銘言：
: : 周易8-34頁
: : By using Fourier transform,solve
: : 2
: : @u @ u
: : — =—— +δ(x)δ(t),u(x,0)=δ(x) lim u(x,t)=0
: : 2 x→±∞
: : @t @ x
: : 1 π x^2
: : Ans:[—π√(—) ]*[1+H(t)]*exp[- — ]
: : 2 t 4t
: : 有請高手解答!感恩
: @u @ u
: — =—— +δ(x)δ(t),u(x,0)=δ(x) lim u(x,t)=0
: 2 x→∞
: @t @ x
: Let F(u(x,t))=U(w,t)
: U'+w^2U=δ(t)
: F(u(x,0))=1=U(w,0)
: let L{U(w,t)}=U`(w,s)
: SU`-1+w^2U`=1'
: 1' 1
: U`=----- + ------
: s+w^2 s+w^2
: =>
: U(w,t)=(u(t)+1)e^-w^2t
: 1 ∞
: u=F^-1(U)=--- ∫(u(t)+1)e^-w^2t e^iwxdw
: 2π -∞
: 其實寫這樣就可以了=.=a
: let w=-w'
: 1 ∞
: =--- ∫(u(t)+1)e^-w'^2t e^-ixw'dw'
: 2π -∞
: recall:
: π
: F(e^-ax^2)=√(---)e^-w^2/4a
: a
: 1 π
: ∴u=---(u(t)+1) √(---) e^-x^2/4t
: 2π t
小弟不才，這題我一直算不出答案，不知道問題出在哪
麻煩大家抽空幫我看一下哪裡寫錯了
我的算法是這樣...
1 ∞ ∞
sol: u(x,t) = ----- ∫ U e^iwx dw , U = ∫ u(x,t) e^-iwx dx
2π -∞ -∞
題目的PDE取傅立葉轉換後
@
---- U = -w^2 + δ(t)
@t
1
U = c e^(-(w^2)t) + ------- δ(t)
D+w^2
= c e^(-(w^2)t) + e^(-(w^2)t) ∫ e^((w^2)t) δ(t) dt
= c e^(-(w^2)t) + e^(-(w^2)t)
∞
取 t = 0 , c + 1 = ∫δ(t) e^-iwx dx = 1 , c = 0
-∞
1 π x^2
U = e^(-(w^2)t) , u(x,t) = ----- √(---) e^(- -----)
2π t 4t
好像少了一項，不知道是哪邊出問題@@a
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◆ From: 61.225.122.163
1F：推 Nowitzness:∫ e^((w^2)t) δ(t) dt 可以直接代1? 11/16 23:25
2F：→ jmKevin:因為在δ(0)的時候才是1其他都是0 所以 e^((w^2) 0 ) = 1 11/16 23:43
3F：→ jmKevin:所以∫ e^((w^2)t) δ(t) dt = 1 11/16 23:43
4F：→ iyenn: =H(t)=1 at t>0 =0 at t<0 11/16 23:54
5F：→ iyenn:牽涉到特殊函數所以我也不是很清楚XD H(0)=??到底是哪套規定 11/16 23:56
6F：→ iyenn:就用L氏去回避這個窘境= =a 11/16 23:56
7F：→ iyenn:嚴格來說delta函數是廣義函數,想瞭解請找數學系-,- 11/16 23:57
8F：→ jmKevin:感謝您的回答 看來也只能用拉氏算這個比較不會出問題了 11/17 00:00