我終於知道 δ(x) 的奧義 QQ 剛剛上網查了一下 Math World : http://mathworld.wolfram.com/DeltaSequence.html 原來只要滿足以下性質 　　都可以定義成 δ(x): A delta sequence is a sequence of strongly peaked functions for which ∞ lim ∫ δ_n(x) *f(x) dx = f(0) n→∞ -∞ Define δ(x) ≡ lim δ_n(x) n→∞ 也就是 ∞ 　　工程上所學的 ∫ δ(x)f(x) dx = f(0) -∞ 把它當成定義比較正確 　　至於 δ(x) = ┌ 0 if x≠0 　　　　　　　　　 └ 發散 if x=0 則算是 δ_n(x) 裡的其中一個 case ---- 例如考慮 δ_n(x) = ┌ n if 0≦x＜1/n 　　　　　　　　　　　　 └ 0 otherwise ∞ 則 lim ∫ δ_n(x)*f(x) dx n→∞ -∞ 1/n = lim ∫ nf(x) dx n→∞ 0 = lim n[ F(1/n) - F(0) ] by Fundamental Theorem of Calculus part 2 n→∞ where f(x) = F'(x) F(n) - F(0) = lim ___________ n→0+ n = F'(0) = f(0) 而且此 case 的 lim δ_n(x) = lim n*[u(x) - u(x - 1/n)] n→∞ n→∞ u(x) - u(x-n) = lim _____________ n→0+ n = u'(x) 所以 δ(x) ≡ lim δ_n(x) = u'(x) n→∞ 是這樣來的 但對不同的 δ_n(x) 其相對應的 δ(x) 不一定會等於 u'(x) 　 也就是說 　 我們要把 δ(x) 看成是 "函數的集合" 而非 "函數" 我碰到的每位教授 　 都是灌輸 δ(x)=0 if x≠0 給我們QQ 其實那只是 " δ(x) 集合裡的某個函數才滿足此性質" ------------------------------------------------------------------------------ 舉一個例子: ∞ -iwt ∞ ∫ e dt = 2∫ cos(wt) dt -∞ 0 n = lim 2∫ cos(wt) dt n→∞ 0 2*sin(wn) = lim _________ n→∞ w sin(nw) = lim 2π*δ_n(w) for δ_n(w) = _______ n→∞ πw = 2πδ(w) 要證明 δ_n(w) 的性質是否是對的 　　就套原始定義: ∞ lim ∫ δ_n(x)*f(x) dx n→∞ -∞ ∞ sin(nx) = lim ∫ _______*f(x) dx n→∞ -∞ πx ∞ sin(nx) = lim ∫ _______ [f(x) + f(-x)] dx n→∞ 0 πx ∞ sin(nx) ∞ -xt = lim ∫ _______ [f(x) + f(-x)] * [∫ e dt] dx n→∞ 0 π 0 ∞ ∞ 1 -xt = lim ∫ ∫ ___ [f(x) + f(-x)] * sin(nx) *e dx dt n→∞ 0 0 π ∞ n*2f(0) = lim ∫ _____________ + ... dt n→∞ 0 π(n^2 + t^2) ( 用部分積分法算出來的，不過後面的積分不會算　＝＝ 　　　　　所以用 ... 表示 QQ , 會証的人幫忙補一下XD ) 2f(0) -1 t→∞ = lim _____ * tan (t/n) ｜ + ... n→∞ π t=0 = f(0) + ... ( 很明顯後面的 ... = 0 XDDD ) ------------------------------------------------------------------------------ 因此 　　不需要 Fourier Transform 或是 inverse FT 的公式 　　就可以直接算那種怪積分了 　　當然先決條件是 δ_n(x) 的型態要背的夠多 　　不然每次算到最後都還要證明一次 OTZ 我上次問的那個鳥極限 　　應該也能用這個定義去證明出來～～ 　　而且前面那個證明 　　需要用到 " f(x) bound 在指數函數order級下 " 才行 　　這正好符合　LT 或是 FT 轉換時的存在性條件 --

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