※ 引述《msu (do my best)》之銘言： : 感謝先前高手的回答 : 另外也是解答不懂@@ : 題目是 : Evaluate the following integral: : ∞ x-sinx : ∫ -------------- dx , a>0 : -∞ x^3(x^2+a^2) : z^2 + zi+1 -e^(iz) : ...他的解答第一步就令 F(z)=--------------------- : z^3*(z^3+a^2) ^^^ 　　　　　　　　　　　　　　　　　打錯了，是 z^2 : 在上半平面具有z=ai的一階pole,在實軸上具有z=0的一階pole : 請問高手 他的F(z)為何要那樣令? : 感謝^^ ---- 解答的令法蠻神的 因為若照原型態假設 　　pole z=0 會是 order=3 這樣最後再求 residues 時 Res{f(z) , 0} 要求 z^3*f(z) 的二階微分 但是若照解答那種假設 　　z=0 會變成 order=1 就可以避免要求 z^3*f(z) 的二階微分 計算量可以大幅降低 ------------------------------------------------------------------------------ <1> 正常求法: 考慮定積分: iz - e^(iz) ∮ ____________ dz with pole z=0 for order=3 c z^3(z^2+a^2) z=ai、-ai for order=1 c: |z|=R 上半圓 用 |z|=δ 的上半圓 去包 z=0 當 R→∞ 可得到: δ→0 ∞ ix - e^(ix) ∫ ____________ dx = 2πi*Res{f(z),ai} + πi*Res{f(z),0} -∞ x^3(x^2+a^2) -a - e^(-a) πi d^2 iz - e^(iz) = 2πi* ____________ + ___ * ____ ___________ | (ai)^3 * 2ai 2 dz^2 z^2+a^2 z→0 a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a) = ______________________*πi 2a^4 　 ∞ -cosx 即 ┌ ∫ ____________ dx = 0 │ -∞ x^3(x^2+a^2) │ │ ∞ x - sinx a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a) └ ∫ ____________ dx = ______________________ *π -∞ x^3(x^2+a^2) 2a^4 ------------------------------------------------------------------------------ <2> 解答求法: 考慮定積分: z^2 + zi+1 -e^(iz) ∮ __________________ dz with pole z=0 for order=1 c z^3(z^2+a^2) z=ai、-ai for order=1 c: |z|=R 上半圓 用 |z|=δ 的上半圓 去包 z=0 當 R→∞ 可得到: δ→0 ∞ x^2 + xi+1 -e^(ix) ∫ __________________ dx -∞ x^3(x^2+a^2) = 2πi*Res{f(z),ai} + πi*Res{f(z),0} -a^2-a+1-e^(-a) z^2 + zi + 1 -e^(iz) = 2πi* ______________ + πi* ____________________ | (連用兩次 L'Hos.) (ai)^3 * 2ai z^4 + a^2z^2 z→0 -a^2-a+1-e^(-a) 2 + e^(iz) = 2πi* _______________ + πi* ____________ | 2a^4 12z^2 + 2a^2 z→0 a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a) = _______________________ *πi 2a^4 ∞ x^2 + 1 - cosx 即 ┌ ∫ ______________ dx = 0 │ -∞ x^3(x^2+a^2) │ │ ∞ x - sinx a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a) └ ∫ ____________ dx = _______________________ *π -∞ x^3(x^2+a^2) 2a^4 ------------------------------------------------------------------------------ 至於為何 pole z=0 會只剩下 order=1 原因是: z^2 + zi + 1 - e^(iz) = (z^2 + zi + 1) - (1 + iz - z^2/2 - iz^3/6 + ....) = z^2/2 - iz^3/6 + ... = z^2*[ 1/2 - iz/6 + ... ] 所以那樣的假設方式 　　變成又多一個 zero 點 : z=0 且 order=2 剛好和分母的 3 order pole z=0 消掉兩個 若有這個概念 　　其實你也可以刻意製造分子有 zero z=0 with order=3 也就是你也可以假設成: z^3 - z^2/2 + iz + 1 - e^(iz) f(z) = _____________________________ z^3(z^2 + a^2) 變成 f(z) 的 pole z=0 "被 removed 掉了" ∞ 所以 ∫ f(x) dx = 2πi*Res{f(z) , ai} -∞ -ia^3 + a^2/2 - a + 1 - e^(-a) = 2πi * _____________________________ 2a^4 [ a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a) ] - i*(2a^3) = _____________________________________ *πi 2a^4 ∞ x^3 - x^2/2 + 1 - cosx π 即 ┌ ∫ ______________________ dx = ___ │ -∞ x^3(x^2+a^2) a │ │ ∞ x - sinx a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a) └ ∫ ____________ dx = _______________________ *π -∞ x^3(x^2+a^2) 2a^4 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.141.151 ※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (10/29 06:02)