※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之銘言： : 先問一題BESSEL .. : 1. : 2 2 : x y'' - 2xy' - (x - 2)y = 0 : 答案 : y = c1 xcoshx + c2 xsinhx : 但是我的答案是 : 3 3 : --- --- : 2 2 : y = A1 x I (x) + A2 x K (x) : 1 1 : --- --- : 2 2 對的 別想太多 化簡成上面的 又要用到前幾天那篇長篇大論 : 2. : Find eigenvalues and eigenfunctions of : y'' - 5y' + Qy = 0 , 0<x<pi , y(0)=0 , y(pi) = 0 : 痾 這題其實 我只是想要問... : -------- : + | : 5 \| 25-4Q : - : ----------------- : 2 : 這要怎麼變成 y 阿.. : 應該說怎麼看 比較清楚.. "Q = 濫打" 先開始解微分方程 令y=e^mx 5 ± √(25-4λ) m= ───────── 2 開始解25-4λ>0 25-4λ= 0 25-4λ<0 25-4λ=p^2 25-4λ=0 25-4λ=-p^2 令p^2為了消根號 討論大於零 y= e^(5/2)x [c1coshp/2x+c2sinhp/2x] y(0) = 0 = c1 y(π)= 0 = c2 trivial 等於零 y = (c1x + c2)e^(5/2)x y(0) = 0 =c2 y(π) = 0 =c1 小於零 y=e^(5/2)x [c1cospx/2+c2sinpx/2] y(0) =0 =c1 y(π) = 0 令c2 =/= 0 sinpπ/2 = 0 pπ =2nπ p =2n 4λ= p^2 +25 λ = n^2 + 25/4 y = c2e^(5/2)x sin2nx : 3. : y'' + Qy = 0 , 0 < x < L , y(0) = 0 , y'(L) + Ay(L) = 0 , A>0 : = = : 答案是 : an : Q = [ ---- ] , n=1,2,3,.. : n L : an : y = Cnsin---x : n L : x : an 為 y=tanx 雨 y = - ---- 焦點橫座標值 : AL : 我算到 : c2(BcosBL + AsinBL)=0 : 就卡住了.. : 我知道接下來 是拿 BcosBL + AsinBL 來討論 前提是 我沒做錯@@ 令λ<0 λ=-p^2 y= c1coshpx +c2sinhpx y(0)= 0 = c1 y'(x) = c2pcoshpx c2(pcoshpL + A sinhPL) = 0 因(pcoshpL + A sinhPL)=/=0 trivial λ=0 y = c1x + c2 y(0) = 0 = c2 y'(x) = c1 c1 +Ac1L = 0 c1 = 0 trivial λ>0 λ=p^2 y= c1cospx + c2 sinpx y(0) = 0 = c1 y'(x) = c2pcospx c2(pcospL + AsinpL) = 0 令c2 =/= 0 tanpL = -p/A 令上式的解為pn λ=pn^2 y=c2sinpnx : 4. : Find eigenvalues and eigenfunctions of : y'' + Qy = 0 , y(0) + y'(0) = 0 , y(L) = 0 : 答案是 : an 2 : Qn = [ --- ] , n= 1,2,3.. : L : an : yn = cn sin ---(x-L) : L : x : an 為 y = --- 雨 y = tanx 焦點橫座標值 : L : 我也是算到 : c2(sinBL - BcosBL) = 0 : 就接不下去了 平移邊界 令t = x - L 邊界變為 y(-L) + dy/dt(-L)=0 y(0)=0 令λ<0 λ=-p^2 y=c1coshpt +c2sinhpt y(0) = 0 = c1 y'(t) = c2pcoshpt c2(-sinhpL + pcoshpL) = 0 (-sinhpL + pcoshpL) =/= 0 trivial λ = 0 y= c1t + c2 y(0) = c2 = 0 y(-L) + y'(-L) = 0 c1-c1L = 0 令c1 =/= 0 L = 1 y = c1t =c1(x-1) λ>0 λ = p^2 y = c1cospt + c2 sinpt y(0) = 0 = c1 y'(t) = c2pcospt c2(-sinpL + pcospL) = 0 令 c2 =/= 0 (-sinpL + pcospL) =0 tanpL = p 令其解為pn λ = pn^2 y = c2sinpnt = c2sinpn(x-L) : ======================================= : 3.4 兩題 都是在 : 2 : -Q < 0 , 另 -Q = -B , B > 0 的情況下 : 5. : If 函數 g1 = a0 , g2 = b0 + b1*x : 2 : g3 = c0 +c1*x + c3*x 在 -1 < x < 1 之區間內行成 : = = : 單位正教函數集 請求 g1 , g2 , g3 之值.. 這題的話 因為為單位正交集合 所以自己的norm為1 不同函數內積為0 開始取內積去算吧= = 1 2 ║g1║ = √<g1 . g1> = √(∫ a0 dx) = √2 a0 =1 a0 = 1/√2 -1 1 <g1.g2> = ∫ a0(b0+b1x) dx = 2a0b0 = 0 a0有值 b0 = 0 -1 1 2 ║g2║ = √<g2.g2> = √∫ (b1x) = 1 -1 b1 = √(3/2) 1 <g1.g3> = ∫ a0(c0+c1x+c2x^2) dx = 2a0c0 + 2/3 a0c2 = 0 -1 2c0 + 2/3c2 =0 -------------------(1) 1 2 <g2.g3> = ∫ b1x(c0+c1x+c2x) dx = 2/3b1c1 =0 因為b1有值 c1 = 0 -1 1 2 2 2 2 ║g3║ = √<g3.g3> = √∫ (c0+c2x ) dx = √(2c0 + 4/3c0c2 + 2/5c2 )=1 -1 上面的g3為(2) 將(1)代入(2) 可解得 c0 = -√(5/8) c2 = √(45/8) 剩下的代一代就出來了 : 答案 : ------- ----- -------- : 1 | 3 | 5 | 45 2 : g1 = ---- , g2 = | ---x , g3 = | --- - | ---x : ---- | 2 | 8 | 8 : \| 2 \| \| \| : 我只知到 我兩個兩個 慢慢積... : 積出 : 3b0*c0 + b0*c3 + b1*c1 = 0 : a0*b0 = 0 : 2a0*c0 + a0*c1 = 0 : 不知道這些有沒有用處.. : 請各為高手了@@ --

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