作者iyenn (曉風)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-一階ODE
時間Sun Oct 11 22:27:16 2009
※ 引述《doom8199 (～口卡口卡 修～)》之銘言：
: 3 2 2
: (x y - 1)dx + x dy = 0
: 題目看起來短短的
: 可是我試過很多方法都解不太出來 QQ
: 這個 ODE 是我在算一個東西的時候化簡得到的
: 所以手邊沒答案
: 麻煩大家了 > <
3 2 2
(x y - 1)dx + x dy = 0
y'=-xy^2+x^-2
let y=p'/(px)
y'=p''(xp)^-1 - p'^2p^-2x^-1 - p'p^-1x^-2
=-p'^2p^-2x^-1+x^-2
=>p''-p'x^-1=x^-1p
=>x^2p''-xp'-xp=0
let t=x^1/2
dp dp dt 1 dp
--= --- ---=---x^-(1/2)----
dx dt dx 2 dt
d^2p -x^-(3/2) dp x^-1 d^2p
----=---------- ---- + ------ ----
dx^2 4 dt 4 dt^2
=>
-t dp t^2 d^2p t dp
---- ---- + ------ ---- - --- --- -t^2p =0
4 dt 4 dt^2 2 dt
d^2p dp
t^2---- - 3t---- -4t^2p=0
dt^2 dt
let p=vt^2
p`=v`t^2+2tv
p``=v``t^2+4tv`+2v
t^2(v``t^2+4tv`+2v)-3t(v`t^2+2tv)-4t^2(vt^2)=0
t^2v``+(4t-3t)(v`)-(6-2+4t^2)v=0
t^2v``+tv`-(4t^2+4)v=0 , modified bessel eq.
v=AI (2t)+BK (2t)
2 2
p=x(AI (2x^1/2)+BK (2x^1/2))
2 2
y=p'/(px)
我算不下去了orz........
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為者常成.行者常至
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◆ From: 123.193.214.165
1F：推 CRAZYAWIND:我看到一半頭就暈了= = 10/11 22:31
2F：推 shinyhaung:哈哈 我也是想到2階ODE y不出現的型式 可是偷懶沒算XD 10/11 22:32
3F：→ iyenn:原積分應該是用bessel的解去代換,在用積分式積,我猜0,0 10/11 22:34
4F：→ iyenn:不過要查一下母函數跟原積分有無同之處才知道..-,- 10/11 22:35
5F：推 fonlintw0621:請問 為什麼 y 要這樣令.. 10/11 22:35
6F：→ fonlintw0621:沒算過 昇階..... 10/11 22:36
8F：推 fonlintw0621:恩感謝..原來是 另一種解法.... 10/11 22:41
9F：推 doom8199:那個 ODE 我正是由2階ODE降到 1階Ricaati eq. = =a 10/11 22:44
10F：→ iyenn:XDD 10/11 22:44
11F：→ iyenn:doom大不早說-,-" 10/11 22:45
12F：→ doom8199:因為我沒有背 Bessel 那些無窮級數 QQ , 所以才這樣轉 10/11 22:47
13F：→ iyenn:我也沒背-,-y 10/11 22:48
14F：→ wade0222:原來這題這麼難= = 10/11 22:49
15F：推 doom8199:還是能幫我解一下 xp''-p'-p=0 with p(0)=p'(0)=0 10/11 22:50
16F：→ doom8199:有加初始條件QQ ， 當初轉的時候是變成此型態 10/11 22:51
17F：→ iyenn:這可以化bessel吧 10/11 22:53
18F：→ iyenn:過上面有解到這部份,在帶初值看看XD 10/11 22:54
19F：→ doom8199:看來改天要找時間唸一下ode無窮級數解,完全不熟 OTZ 10/11 22:57
20F：→ iyenn:大家都不熟:) 10/11 23:12