※ 引述《AAzxc (屎名)》之銘言： : 已知 y1=x 為(1-x^2)y"-2xy'+2y=0之一解 求另一解 : 我算到 x"積分符號" x^-2乘(1-x^2)^-1 dx : 這裡我就不會解了~"~ : 請求大家幫忙 : 感謝^^ y'' + p y' + q y = 0 令 y = u v 則 y' = u'v + u v' y'' = u''v + 2 u' v' + u v'' 帶入 ODE 得 u''v + 2 u' v' + u v'' + p ( u' v + u v') + q (u v) = 0 整理之後 可得 u v'' + ( 2 u' + p u ) v' + ( u'' + p u' + q u ) v = 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ << 跟原 ODE 很像 假設 u 是其中一解 則那一項 = 0 則可以把上式改寫 2 u' + p u v'' + ------------- v' = 0 u 令 p = v' 則可以改寫 2 u' + p u p' + ------------- p = 0 u 變成 一階 線性 ODE 2 u' + p u S --------------- dx u I = e 1 C p = --- S I * (0) dx + ----- I I v = S p dx --------------------------------------------------- 或者 2 u' + p u v'' + (--------------) v' = 0 u '' v 2 u' ----- + ------ + p = 0 v' u 直接積分 ln v' + 2 ln u + S p dx = c 2 S -p dx v'u = c1 e S -p dx c1 e v' = ---------------- 2 u S -p dx C1 e v = S ----------------- dx + c2 2 u 帶入 y = uv S -p dx e y = c1 x S ----------------- dx + c2 x 2 u ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ 這項 是另一獨立解的公式 已知獨立解 答案套入 2x - S -------- dx 2 x - 1 1 e = ------------ 2 x - 1 1 y2 = x S -------------- dx 2 2 x ( x - 1 ) 1 1 x + 1 y2 = x (----- - ----ln ------- ) x 2 x - 1 通解 y = y1 + y2 有誤請指點一下 --

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