作者becomesonumb (貓太)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-ODE
時間Sun Sep 27 14:56:26 2009
※ 引述《wellilin (QQ123)》之銘言：
: y'={2(xy^1/2)-y}/x
: ans= y^1/2=x^1/2{1-(1/cx)}
: 解不出來 = =...幫幫忙
xy'+y=2(xy)^(1/2)
除以x得到
1
y'+---y = 2x^(-1/2)y^(1/2)
x
就變成了Bernoulli方程式
1 1
令z=y^(1- ---) =y^(---)
2 2
1
則 z'= ---y(-1/2)y' 得到y'=2y^(1/2)z'
2
帶回後來的Bernoulli方程式
得到
1
2y^(1/2)z'+---y = 2x^(-1/2)y^(1/2)
x
同時除以 y^(1/2)並且讓z'前面沒有係數
得到
1 1
z'+ --- --- z = x^(-1/2)
2 x
成為了一階線性ODE的樣子,公式解下去
1 1
P(x)=--- --- Q(x)=x^(-1/2)
2 x
1 1
I(x)=exp∫--- ---dx = x^(1/2)
2 x
1
z(x)= ---[∫IQdx] = x^(-1/2)[∫x^(1/2)x^(-1/2)dx]
I
= x^(-1/2)[∫1dx]
= x^(-1/2)(x+c)
= x^(1/2) + cx^(-1/2)
把z(x)=y^(1/2)代回得到
y^(1/2) = x^(1/2) + cx^(-1/2)
答案差在常數c而已
所以我這樣應該也是對的吧 ?!
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老師：小時候我對老師罵髒話，老師原諒了我，我覺得很開心
同學Ａ：老師我可以罵你嗎？我忍很久了
http://www.wretch.cc/blog/becomesonumb
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◆ From: 122.100.107.74
1F：推 hsuan0425:我算結果跟你一樣 09/27 14:58
2F：→ becomesonumb:不過yimao的解法還蠻快的說 09/27 15:01
3F：推 yimao:獻醜了...其實我一開始是想到齊次..但是算到卡住了..哈哈= = 09/27 15:02
4F：推 hsuan0425:y大那個算法蠻簡單的 沒注意到 哈哈 09/27 15:05
5F：推 hihaka2001:那招式grouping method 本來就會比較快 09/27 15:28
6F：推 sean456:合併法這題比較快 可是未必全部都會比較快 09/27 15:31