※ 引述《kwei1027 (╮(﹋﹏﹌)╭)》之銘言： : 請問一下 : 這個體積怎麼算= = : region bounded within by : z= 根號(4 - x^2 -y^2 ) : x^2 + y^2 = 3 z=0 : 謝謝了 --- set x = rsinθcosψ y = rsinθsinψ z = rcosθ region <1>: (rsinθcosψ)^2 + (rsinθsinψ)^2 ≦ 3 → (rsinθ)^2 ≦ 3 → 0 ≦ r ≦ √3/sinθ region <2>: 2 r ≦ 4 and rcosθ≧ 0 → 0 ≦ r ≦ 2 、 cosθ≧ 0 combine <1> <2> : 0 ≦ r ≦ min{ 2,√3/sinθ} 、 0≦θ≦π/2 C:{(r,θ,ψ) | 0 ≦ r ≦ min{ 2,√3/sinθ} 、 0≦θ≦π/2 、 0≦ψ<2π } partition: C1:{(r,θ,ψ) | 0 ≦ r ≦ 2 、 0≦θ≦π/3 、 0≦ψ<2π } C2:{(r,θ,ψ) | 0 ≦ r ≦ √3/sinθ 、 π/3≦θ≦π/2 、 0≦ψ<2π } notice that C = C1+C2 then V = ∫∫∫ 1 dxdydz C 2 = ∫∫∫ r sinθ drdθdψ C 2π π/3 2 2 2π π/2 √3/sinθ 2 = ∫ ∫ ∫ r sinθ drdθdψ + ∫ ∫ ∫ r sinθ drdθdψ 0 0 0 0 π/3 0 = V1 + V2 <1> 2π π/3 2 2 V1 = ∫ ∫ ∫ r sinθ drdθdψ 0 0 0 2π π/3 2 2 = ∫ dψ * ∫ sinθ dθ * ∫ r dr 0 0 0 = (2π)*(1/2)*(8/3) 8π = ____ 3 <2> 2π π/2 √3/sinθ 2 V2 = ∫ ∫ ∫ r sinθ drdθdψ 0 π/3 0 2π π/2 2 = ∫ ∫ √3*csc θ dθdψ 0 π/3 2π = ∫ -√3*[cot(π/2)-cot(π/3)] dψ 0 = 2π 由 <1> <2> 知 V = V1 + V2 = 14π/3 ---- 當然也能切割成兩部份: V3: x^2+y^2=3 、 0≦z≦1 的圓柱 V4: x^2+y^2+z^2=4 、 1≦z≦2 的體積 其中 V3 = π(√3)^2 * 1 = 3π 利用圓柱體積公式 2π π/3 2 2 V4 = ∫ ∫ ∫ r sinθ drdθdψ 0 0 1/cosθ 答案應該都一樣 　　不過若遇到不規則曲面或是我們不熟析的曲面 　　還是只能像一開始那樣慢慢算積分 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.141.151