※ 引述《chris1 (小刀)》之銘言： : http://tinyurl.com/nl7tya : 第四題，怎麼換來換去就是算不出來.... : 還有請教一下第八題是要用到麥克勞林嗎？我還是算不出來... : 請高手指點一下...謝謝 --- 4. 凡是被積分函數的分母含有三角函數的型態 通常會用半角公式將之代換成 分式型函數 f(z)/g(z) 然後再拆成部份分式去積分: set z = tan(x/2) → sinx = 2z/(1+z^2) cosx = (1-z^2)/(1+z^2) dx = 2/(1+z^2) dz 原 po 你可以試著去代換看看 我打算直接積，其實方法一樣，只是容不容易看的問題 : 1 1 ∫ _____________ dx = ∫ ___________________________________________ dx 3sinx - 4cosx 6sin(x/2)*cos(x/2) - 4*{2*[cos(x/2)]^2 - 1} [sec(x/2)]^2 = ∫ ________________________________ dx 6tan(x/2) - 4*{2 - [sec(x/2)]^2} 2 = ∫ ________________________________ d[tan(x/2)] 6tan(x/2) - 4*{1 - [tan(x/2)]^2} 1/2 ┌── = ∫ ________________________________ d[tan(x/2)] ｜ [ tan(x/2) + 3/4 ]^2 - 25/16 ｜ ｜ -2 -1 4 ｜ (sol.) = ___ tanh { ___[ tan(x/2) + 3/4 ] } + C ｜ 5 5 ｜ ｜ 　　　　　 └──→ （若不知道 ∫1/(1-x^2) dx = arctanh(x) + c ） 　　　　　　　　　　（請直接跳下面步驟） 　　　　　　　　　　　 ↓↓↓ 1/2 d[tan(x/2)] = ∫ ____________________________________________ [tan(x/2) + 3/4 + 5/4][tan(x/2) + 3/4 - 5/4] -1/5 1/5 = ∫ ______________ + ________________ d[tan(x/2)] [tan(x/2) + 2] [tan(x/2) - 1/2] -1 (sol.) = ___{ln｜tan(x/2) + 2｜ - ln｜tan(x/2) - 1/2｜} + C 5 8. x 2x yc = C1*e + C2*e ---> 若不知道怎來的我再補過程 　　　yp: set yp = ax + b + cx*e^(2x) → yp' = a + c(1+2x)*e^(2x) yp'' = c(4+4x)*e^(2x) 2x 帶入 y'' - 3y' + 2y = 4x + e 2x 2x 2x 2x → c(4+4x)e - 3[a + c(1+2x)e ] + 2[ax + b + cxe ] = 4x+e 2x 2x → 2ax + (-3a+2b) + ce = 4x + e 比較係數: 2a = 4 -3a+2b = 0 c = 1 解得 a = 2 、　　b = 3 、 c = 1 因此 y = yc + yp x 2x 2x = C1e + C2e + 2x + 3 + xe 然後再由 y(0) = 0 、 y'(0) = 1 解出 C1=-4 、 C2=1 x 2x 2x 即 y = -4e + e + 2x + 3 + xe ---- 上述方法起碼要會用～～ 　　 不過有給 initial condition ，通常會用 Laplace去解 : set L{y(x)} = Y(s) y'' - 3y' + 2y = 4x + e^(2x) , y(0)=0 , y'(0)=1 → (s^2*Y-1) - 3(sY) + 2Y = 4/s^2 + 1/(s-2) → (s-1)(s-2)Y = 4/s^2 + 1/(s-2) + 1 → Y = 4/s^2(s-1)(s-2) + 1/(s-1)(s-2)^2 + 1/(s-1)(s-2) = 3/s + 2/s^2 - 4/(s-1) + 1/(s-2) + 1/(s-2)^2 → y = 3 + 2x - 4e^x + e^(2x) + xe^(2x) --

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