作者spdfmas (Go Suns)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-FROBENIUS 級數解
時間Wed Sep 2 09:57:57 2009
※ 引述《competitions (alex)》之銘言：
: xy''+(1-x)y'+y=0
∞ n+r ∞ n+r-1 ∞ n+r-2
令 y = Σ C x , y' = Σ (n+r) C x , y''= Σ (n+r)(n+r-1) C x
n=0 n n=0 n n=0 n
代入原 ODE 整理可得
∞ 2 n+r-1 2 r-1
Σ [ (n+r) C - (n+r-2) C ] x + r Co x = 0
n=1 n n-1
由 Co =\= 0 可得
r = 0
n-2
→ C = ------- C n= 1,2,3, ...
n n^2 n-1
n=1 : C1 = -Co
n=2 : C2 = 0
1
n=3 : C3 = --- C2 = 0 = C4 = C5 = ...
9
→ y1 = Co +C1x = Co(1-x)
∞ n+r
再令 y2 = y1 lnx + Σ An x 其中 r=0 (前面算得)
n=0
可得 ∞ n-1
y2' = y1' lnx + y1/x + Σ nAn x
n=0
∞ n-2
y2'' = y1'' lnx + 2y1/x -y1/x^2 + Σ n(n-1)An x
n=0
代入原 ODE，且因 y1 已為一解，故有 y1'' + (1-x)y1' + y1=0
整理可得
∞ 2 n-1 ∞ n
Σ n An x - Σ (n-1)An x - 3Co + Co x = 0
n=0 n=0
比較係數：
x^0 項 : A1 +Ao -3Co = 0 → A1 = 3 Co- Ao
x^1 項 : 4A2 +Co = 0 → A2 = -1/4 Co
x^2 項 : 9A3 -A2 =0 → A3 = 1/9 A2 = -1/36 Co
x^3 項 : 16A4 -2A3 =0 → A4 = 1/8 A3 = -1/288 Co
' '
' '
' '
∞ n
→ y2 = y1 lnx + Σ An x
n=0
= Co(1-x) lnx + Ao +(3Co-Ao)x - 1/4 Co x^2 - 1/36 Co x^3 - ...
= Co [(1-x)lnx + 3x - 1/4 x^2 - 1/36 x^3 - ...] + Ao(1-x)
其中 Ao(1-x) 為同形項
故得 ODE 之解為
: y1=Co(X-1)
: y2=Co*[(x-1)ln(x)-3x+(1/4)X^2+(1/36)X^3+(1/288)X^4+(1/2400)X^5+.......
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對不起 我來晚了 ◢
我會叫他們小心點 ◢◤ █ ◢███◣
˙ ˙ █ 馬 ▌ ≡█ ◥ 還
我很抱歉，希望你不要生氣 ” █ 英 -⊙-⊙-█ 我
︷◤
█ 九 █ 皿 ██ 牛
φpeter110270
◣◢ mm ◥ ︶ █◤ mm
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