※ 引述《youmehim (哩挖伊)》之銘言： : 1. : 耍人呀 = = 係數應該沒y吧... : 2 3 : x y" - x(x+2)y' + (x+2)y = 2x : 觀察得一齊性解為x : Let y = xu , y' = u + xu' , y" = 2u' + xu" : 2 3 : x (2u'+xu") - x(x+2)(u+xu') + (x+2)xu = 2x : 除以x並且乘開 : 2 2 2 : 2xu' + x u" - xu - 2u - x u' - 2xu' + xu + 2u = 2x : 2 2 2 : x u" - x u' = 2x : Let p = u' : p' - p = 2 : dp : ---- = 2 + p : dx : dp : ----- = dx : 2+p : ln|p+2| = x + c* : x : p+2 = c1 e : x : p = u' = c1 e - 2 : x : du = (c1 e - 2) dx : x : u = c1 e - 2x + c2 : x 2 : y = xu = c1 xe + c2 x - 2x : 2. : t : 2e : y" - y = --------- : t -t : e + e : 先求齊性解 : mt : Let y=e : 2 : m - 1 = 0 m = 1 or -1 : t -t : yh = c1e + c2e : t t : 2 e 1 1 e : yp = --------- --------- = (------- - -------) --------- : 2 t -t D - 1 D + 1 t -t : D - 1 e + e e + e : 2t : t 1 1 -t 1 e : = e --- --------- - e --- --------- : D t -t D t -t : e + e e + e : t t -t -t : t e -t ( e + e ) - e : = e ∫--------dt - e ∫-----------------dt : 2t -2t : e + 1 1 + e 從這裡 : t t -t -t : Let x = e , dx = e dt , z = e , dz = -e dt : t 1 -t t 1 : = e ∫-------dx - e ( ∫e dt - ∫------- dz ) : 2 2 : x + 1 z + 1 變到這裡的↑↑ t 我不太董也 我怎麼都弄不出來 S e dt ... 感謝這位大大 讓我豁然開朗 只剩下這裡不太明白~~ : t -1 t -t -1 -t : = e tan e - 1 + e tan e : t -t t -1 t -t -1 -t : y = yh + yp = c1e + c2e - 1 + e tan e + e tan e : 3. : ∫(xlnx - x)dx : 2 1 : Let u = x , du = 2xdx , v = lnx , dv = ---dx : x : 1 1 : = ---∫(v-1)du = ---[ u(v-1) - ∫udv ] : 2 2 : 1 2 1 2 3 2 : = ---[ x (lnx - 1) - ∫xdx ] = --- x lnx - --- x : 2 2 4 : 4. : ix 1 : Im[e ------------------ x] : 2 : D + 2(i+1)D + 2i : 分母先提個2i 讓D的零次方項為1 : ix : e 1 : = Im[----- ------------------------- x] : 2i i+1 1 2 : 1 + (----- D + ---- D ) : i 2i : 1 2 : 代入泰勒展開式 ------- = 1 - t + t - … : 1 + t : 由於只作用在x的一次方上 取到D的一次方就夠了 : ix : e i+1 : = Im[----- (1 - -----D)x] : 2i i : 2 : 所以剛剛分母那也可以直接把D 項去掉 答案亦同 : 5. : y" + 4y = cos2x : mx : Let y = e : 2 : m + 4 = 0 , m = ±2i : yh = c1 cos2x + c2 sin2x : 1 : yp = ------- cos 2x : 2 : D + 4 : 1 2ix : = Re [------- e ] : 2 : D + 4 : 1 1 1 2ix : = Re [---- (------ - ------)e ] : 4i D-2i D+2i : 1 2ix -2ix 4ix : = --- Re [-i(xe - e ∫e dx )] : 4 : 4ix : 1 2ix -2ix e : = --- Re [-i(xe - e -------)] : 4 4i : 1 1 : = --- Re [-i x(cos2x + i sin2x) + ---(cos2x + i sin2x)] : 4 4 : 1 1 : = --- (xsin2x + ---cos2x) : 4 4 : 1 : y = yh + yp = c1 cos2x + c2 sin2x + ---xsin2x : 4 --

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