作者shinyhaung (我是Shiny)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-高階oODE
時間Fri Aug 14 23:48:27 2009
※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之銘言：
: 1.
: y''' - y'' - y' + y = 0
: y'(0) = 1 , y(0) = 0
: 答案是
: x x
: y = 2e - xe
基本題 令 y = e^mx y' = me^mx y'' = m^2e^mx 代入原式可得
m^3 - m^2 - m + 1 = 0 利用勘根定理可知 m = 1為一解
則可分解得 (m - 1)(m^2 - 1) = 0 故 m = 1, 1, -1
通解 y = c1e^x + c2xe^x + c3e^(-x)
將三個初始條件帶入 要一直微分XD
得 c1 = 2 c2 = -1 c3 = 0
故 y = 2e^x - xe^x
: 2.
: -x -x
: Find an ODE for which the function x,1, e cos3x, e sin3x are solutions
: 答案
: D = 0,0, -1+3i , -1-3i , y''''+2y'''+10y''=0
: 我鋼開始寫高階ｏｄｅ
: ０ ０ 怎麼看阿~~
: 其他我都會看出來 只有 0 0還看不太出來~
一樣令 y = e^mx
故有 y = 1 的解 => m = 0
y = x => m = 0 因為重根多乘x
y = e^(-x)cos3x, e^(-x)sin3x => m = -1 ± 3i才會有此解
故原式 m^2[ (m+1)^2 + 9 ] = 0 此式是左右同消去e^mx
將y帶入展開可得原式 y''''+2y'''+10y'' = 0
: 3.
: y=sinx 為 y''''+ 2y''' + 11y'' + 2y' + 10y = 0 之一解~ 求通解
: 答案是
: -x -x
: y = c1cosx + c2sinx + c3e cos3x + c4e sin3x
: 懇請鄉民了!!
一樣令 y = e^mx代入解m
左右消去e^mx可得 m^4 + 2m^3 + 11m^2 + 2m + 10 = 0 ......(1)
已知有一解 y=sinx 即可得令一解 y=cosx
表示 (m^2 + 1) = 0 .....(2)
將 (1) 除以 (2) 可得 (m^2 + 1)(m^2 + 2m + 10) = 0
故 (m^2 + 2m + 10) = [ (m+1)^2 + 9 ] = 0
可解得 m = -1 ± 3i
故通解 y = c1cosx + c2sinx + c3e^(-x)cos3x + c4e^(-x)sin3x
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◆ From: 125.229.82.231
※ 編輯: shinyhaung 來自: 125.229.82.231 (08/15 00:08)
1F：推 mdpming:感謝你~~老師都沒教我們 這樣另也... 08/15 00:20
2F：→ mdpming:原來還有這招!! 08/15 00:21
3F：推 mdpming:可是我剛剛對一次 題目沒打錯也XD 08/15 00:23
4F：→ mdpming:請問 y=e^mx 有條件限制嗎~ 08/15 00:23
5F：→ shinyhaung:因y'+ ky = 0(k為常數) 的通解可利用分離變數法求得為 08/15 00:31
6F：→ shinyhaung:y = ce^(-kx) 因此高階常係數線性O.D.E.的齊性解 08/15 00:32
7F：→ shinyhaung:其形式應亦為e^mx或其線性組合 08/15 00:33
8F：推 ashyan:第三題 知道通解sinx cosx 是令(m^2+1) 嗎? 08/15 00:52
9F：→ shinyhaung:漏氣了 解錯XDD 感謝樓上 08/15 00:59
※ 編輯: shinyhaung 來自: 125.229.82.231 (08/15 01:02)
10F：推 mdpming:第一題 我卡在刊跟定理 所以分解不出來 @@ 那要怎麼看阿 08/15 10:15
11F：推 mdpming:第三題 1 除 2 怎麼除的阿 除不出來.....@@ 08/15 10:34
12F：推 mds420:不就是多項式的長除法嗎?? 08/16 16:20