作者yimao (MLP)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-一階ODE問題~
時間Thu Jul 23 19:27:47 2009
※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之銘言：
1.
2 2 2
(x + xy +y )dx-x dy=0
x
y= --------------
tan(ln c/x)
dy du
同除X^2 且令 u = y/x ---- = u + ----
dx dx
整理得
du
( 1 + u + u^2 ) -u -x---- = 0
dx
分離變數
dx du
----- = ------
x 1+u^2
-1
ln│x│ = tan u + c
u = tan(ln(x/c)) = y/x
移項就得到答案...但是X和C的位置顛倒...不知道是哪裡算錯(算是這樣算)
2.
(x-2y+3)dx+(2x-4y-3)dy=0
答案是
3 9 4x 8y
(x-2y+ ---) e e =c
這種...一般用座標平移可轉換為齊次
但這題是平行...故無法求交點
因此...
dy du
直接令 x-2y +3 = u .. 1- 2---- = ----
dx dx
帶進去整理一下應該就會算的出來
另外我想問一個高階ODE問題
3x 2
y''+2y'+3y=10e + 4x
這提到後面 答案要怎麼表示
用逆微分運算子
算阿算的
算到
10 3x 1 2 1 2 2
Y = ----- e + --- 4x + --- D 4x +.........
p 18 3 27
所以yp 的D 怎麼求出來@@
1 3x 10 3x
------------10e = ----e
D^2+2D+3 18
而X平方部分
1/3 -2/9D - 2/27 D^2
1 2 ------------------------
----------(4x ) 3 + 2D + D^2 │ 1
D^2+2D+3 1 + 2/3D + 2/3 D^2
------------------------
- 2/3D - 2/3 D^2
- 2/3D - 4/9 D^2 - 2/9D^3
-------------------------
- 2/9 D^2
- 2/9 D^2
2
= (1/3 -2/9D - 2/27 D^2) (4x ) ...變成用微的
D^3以後不考慮是因為微到4X^2為0
4 16 16
= ----- x^2 - ----- x - ---- ...Yp 應該長這樣...假設沒算錯
3 9 27
最後Y=Yh+Yp
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.32.91.86
1F：→ doom8199:<2> 假設 u=x-2y <3>令 yp = Ae^(3x) + Bx^2 + Cx + D 07/23 18:31
2F：→ doom8199:帶入解係數。 <1> 假設 u=y/x後 ，O.D.E.一定可以用 07/23 18:32
3F：→ doom8199:分離變數去解，原po可以在算一下 07/23 18:33
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.110.19.9
※ 編輯: yimao 來自: 123.110.19.9 (07/23 19:44)
4F：推 pimday:第一題算出來也跟原po一樣 07/23 20:02
5F：推 doom8199:<1> 答案是一樣的: tan(c1 + lnx) 07/23 20:33
6F：→ doom8199:= [tan(c1) + tan(lnx)]/[1 - tan(c1)*tan(lnx)] 07/23 20:34
7F：→ doom8199:= [1 + tan(lnx)/tan(c1)]/[1/tan(c1) - tan(lnx)] 07/23 20:35
8F：→ doom8199:= [1 + tan(lnx)*tan(c2)]/[tan(c2) - tan(lnx)] 07/23 20:36
9F：→ doom8199:= 1/tan(c2 - lnx) = 1/tan[ln(c3/x)] 07/23 20:37
10F：→ doom8199:where tan(c2) = 1/tan(c1) 、 ln(c3) = c2 07/23 20:38
11F：→ doom8199:或是直接對 O.D.E. 假設 u=x/y 也能得到那樣的型態 07/23 20:39
12F：推 mdpming:太感謝了~~來研究一下!! 07/23 22:12
13F：推 mdpming:光那個長除法要打很久吧..=.= 07/23 22:21
14F：→ mdpming:D^3以後不考慮是因為微到4X^2為0 <--- 講這句我就了解QQ 07/23 22:21