作者yimao (MLP)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-高階ODE問題
時間Sat Jul 11 11:17:46 2009
※ 引述《osunriceo (語)》之銘言：
這３題都要用逆運算子．．．
1. y''+3y'+2y = 1/(1+e^x)
解答: y=C1e^(-x)+C2e^(-2x)+e^(-2x) *(1+e^x)(ln(1+e^x)-1)
y = exp[mx] 帶入
( m + 1 )( m + 2 ) = 0 ...m = -1...-2
yh = C1e^(-x)+C2e^(-2x)
求 Yp = ??
1 1
---------------- (--------------)
( D + 1 )( D + 2 ) 1 + e^x
1 1 1
={ ------- - --------} (--------------)
( D + 1 ) D + 2 1 + e^x
e^(x) e^(2x)
= e^(-x) ∫ ---------- dx - e^(-2x) ∫ ---------- dx
1 + e^x 1 + e^x
第一項
= e^(-x) * ln│1 + e^x│
第2項
令 t = e^(x) dt = e^(x) dx
帶入替換積分後得
e^(-2x) * [ e^(x) - ln│1 + e^x│ ]
y = yh + yp
= C1e^(-x)+C2e^(-2x) + e^(-x) * ln│1 + e^x│
+ e^(-2x) * [ e^(x) - ln│1 + e^x│ ]
化簡一下就會變成你要的答案
2. y''-y' = e^x/(1+e^x)
解答: y=C1+C2e^x+xe^x-(e^x+1)ln(e^x+1)
1 e^x
------------- ----------------
D ( D - 1) (1+e^x)
跟第一題一樣
只不過Yp 用這樣去算
3. x^3 y'''-4x^2 y''-8x y'-8 y = 6x^3/(x^2+1)^(3/2)此題為中興化工94
解答: y(x)=C1x+C2x^2+C3x^4-(2x+4x^3+2x^5)/√(1+x^2)
這一題為Cauchy - Euler
d
令 X = e^(t) D = -- 或是Y = X ^ｍ 代入
dt
D( D-1 )( D-2 )y -4 D( D-1 )y -8 Dy -8y =0
只不過在解Ｙｐ時
必須用第一題和第２題的那種算法
有錯再請幫忙改正喔！！
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1F：推 osunriceo:感謝再感謝~我露看的這邊,謝謝! 07/11 19:12