2 1.Show that E(Y-Φ(X)) is minimized by choosing Φ(X)=E(Y|X) x -λ λ e 2.Let X have pmf P (X=x)=----------- , x=0,1,2,... and suppose that λ x! -λ λ is a realization of a random variable Λ with pdf f(λ)=e , λ>0. -Λ Find E(e |X=1) -x 3.Let X,Y be iid random variables with commom pdf f(x)=e if x>0 Find the pdf of random variables (a) min(X,Y) (b) max(X,Y) (c)min(X,Y)/max(X,Y) (e) show tha X+Y and X/(X+Y) are independent 4.Let {An} be a sequence of events such that An→A as n→∞. Show that P(An)→P(A) as n→∞ 5.Let X be a random variable with probability mass function n r n-r P(X=r)= ( )p (1-p) , if r=0,1,2,..,n. 0≦p≦1. r 2 Find the pmfs of the random variables (a)Y=X , (b) Y=√X 6.Let X be a random variable such that P(a≦X≦b)=1 where 2 (b-a) -∞＜a＜b＜∞. Show that Var(X)≦--------- 4 上面是期中考的@@""不過這份考題代表性不大 XD 因為是take home的..大概給我們兩個禮拜的時間寫吧@@"" 老師有說他在課堂上考我們的話不喜歡出需要算很久的題目 期末考是在教室裡考的...代表性應該比較大..但我沒考卷只能憑記憶大概寫一些題目 有兩題就是寫pmf跟pdf..不過是要我們把知道的都寫出來喔 我覺得這種題目留到最後再寫比較好..@@"" 因為某些分布的form不是那麼容易就可以完整寫出來 我花了整整兩張半考卷來寫這兩題喔..囧 像weibull,t,F這些分布就真的很難把它的分布的form都記得@@"" 不知道的話就把它是由哪些分布如何組合而成的寫出來..這樣寫應該是OK啦 喔這兩題還有問哪些分布具有無記憶性..要把它寫出來而且要證明喔 也問了分佈之間有什麼關係...這樣問根本寫不完阿XD 所以我才建議留到最後寫..最後我也沒把這題寫完 有一題是要定義 a random variable X converges in probability a random variable X converges in distribution weak law of large numbers central limit theorem 這是老師最愛出的題目類型啦 有一題是問什麼是獨立 我們在計算題目時有哪些方法可以判斷隨機變數相互獨立 (可以用mgf pmf pdf cdf等...) 有一題是要做變數轉換 有X1,X2...,Xn的joint pdf 如果Y1,...,Yn皆能表達為Wj(X1,X2,...,Xn) 如果Wj皆為一對一函數..那如何找Y1...Yn的joint pdf 如果不為一對一 又該如何找Y1...Yn的joint pdf (這題題目真的記得很模糊了..打錯原諒我吧XD) 最後一題是order statistics Yi＜Yj＜Yk＜Yl＜Ym are the order statistics from iid r.v. X1,X2,X3,...Xn f(x) and F(x) be the pdf and cdf of Xj and a<x<b Find the joint pdf of Yi,Yj,Yk,Yl,Ym 呼~~我記得的就這些了@@" 總而言之她考的東西最重要的就是定義要知道..不會考太細的計算 考前看筆記及課本的大方向就OK了 --

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