來對個答案吧 ※ 引述《newversion (海納百川天下歸心)》之銘言： : 1. : 求 x=ky^2 的 Orthogonal_trajectory Family x=ky^2 => dx = 2kydy => dy/dx = 1/2ky Orthogonal_trajectory => dy/dx = -2ky dy/y = -2kdx => ln(y) = -2kx + C => y = A exp(-2kx) : 2. : y^2 : ----------- : x^2 + y^2 : (x,y) -> (0,0) 時 limit = ? path y=0 --> 0 path y=x --> 1/2 所以 limit 不存在 : 3. : (a) ln(1+x) 的 麥克老林級數 : (b) ln cosx 的 麥克老林級數 (a) f' = 1/(1+x) = 1 -x +x^2 -x^3 ... for all |x|<1 積回去 f = x -x^2/2 +x^3/3 -x^4/4 ... x=1 也收斂(交錯級數) , By Abel Thm 1 -1/2 + 1/3 .... = limit ln(1+x) --> ln2 x->1- 收斂區間 = (-1,1] (b) 剛開始打算 ln (1 + (-x^2/2 + x^4/4 ....) ) 硬爆，發現行不通 f(x) = ln cosx -sin(x) f' = -------- 令= a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + ... -----(*) cos(x) 積回去 f = a0 x + a1 x^2/2 + a2 x^3/3 + .... 由(*) 展開 -(x -x^3/3! +x^5/5! ... ) = (a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + ...) (1 - x^2/2 + x^4/4! - x^6/6!....) 比較系數 a0 , a2 , a4 = 0 這邊超煩的，我有好幾個算錯，以下是電腦跑的結果 a1/2 = -1/2 a3/4 = -1/12 a5/6 = -1/45 : 4. : ∞ : staring with f(x) = Σx^n : n=0 : (a) : ∞ : Σ n(n-1)x^n = ? : n=2 ∞ f' = Σn x^(n-1) n=1 ∞ f'' = Σn(n-1) x^(n-2) n=2 2 x^2 所求 = x^2 f'' = -------- (1-x)^3 : (b) : ∞ n^2 : Σ ----------- : n=1 2 n : (ps, 發散，題目應該印錯吧) : 可能是想問 : ∞ n^2 : Σ ----------- : n=1 2^n ∞ xf' = Σn x^n n=1 ∞ f' + xf'' = Σn^2 x^(n-1) n=1 ∞ xf' + x^2 f'' = Σn^2 x^n n=1 代 x = 1/2 ==> 6 : 5. : 設f連續 : x : ∫f(t)dt = sin(x/2) : 0 f(x) = (1/2) cos(x/2) : x x : (a) 證 ∫f(t)dt = -1 + ∫f(t)dt : π 0 x 0 x ∫ = ∫ + ∫ π π 0 0 π ∫ = -∫ (1/2) cos(x/2) dx = -1 π 0 : (b) : d x^2 : -- ∫f(t)dt = ? : dx x f(x^2) 2x - f(x) = x cos(x^2/2) - (1/2) cos(x/2) : 6. : 給 x^2+y^2+z^2=4 ，求 離 (6,2,-2) 最遠和最近的點 ^^^^^^^^ 令 f = (x-6)^2 + (y-2)^2 + (z+2)^2 2(x-6) = λ2x --1 2(y-2) = λ2y --2 2(z+2) = λ2z --3 (i) 若λ=0 ... blah blah 不合 (ii) 若λ≒0 1/2 ==> (x-6)/(y-2) = x/y ==> x=3y 1/3 ==> (x-6)/(z+2) = x/z ==> x=-3z 代入 x^2 + (1/9)x^2 + (1/9)x^2 = 4 ==> (11/9) x^2 = 4 ==> x= ±6/√11 (6/√11 , 2/√11, -2/√11) (-6/√11 , -2/√11, +2/√11) 沒時間代進去算誰是最大/最小 ps, 其實也不用代進去算，剛剛才發現 比較 (6/√11 , 2/√11, -2/√11) ==> (正-6)^2+(正-2)^2+(負+2)^2 <---- 小 (-6/√11 , -2/√11, +2/√11) ==> (負-6)^2+(負-2)^2+(正+2)^2 <---- 大 : 7. : ∞ : ∫ exp(-x^2) dx : -∞ √π : 8. : ∞ 1 : Σ ------ 是否收斂，若收斂，求其值 : n=1 n^2 Integral Test => 收斂 : 求值，初微程度還求不了吧？ 我直接背答案 Pi^2/4 ，結果背錯，是 Pi^2/6 囧 : 參考 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_09/index.html : 9. : 四點 (1,0) (2,0) (0,-1) (0,-2) 所圍區域R : 求 : ∫∫ exp((x+y)/(x-y)) dxdy : R 令 v=x+y , u=x-y duv 1 -1 --- = | | = 2 dxy 1 1 ∫∫ (1/2) exp(v/u) dv du R' 2 u ∫∫ (1/2) exp(v/u) dv du 1 -u 2 v=u ∫(1/2) u exp(v/u)| du 1 v=-u 2 ∫(1/2) u (e - 1/e) du 1 (e - 1/e) 3 ------------ 4 有錯請指正。 --

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