: : 怎麼辦，好想知道出了些什麼題目唷 : : 希望有人能留下題目，以嘉惠後人 : 微積分: : 1. lim (1+4+7+...+(3n+1))/(n+1)(n+2) : x->+無窮 (3n+2)(n-1) 3n^2 - n - 2 3 原式 = lim ------------- = lim --------------- = --- 2(n+1)(n+2) 2n^2 + 6n + 4 2 : 2. 求出下列的dy/dx值 : (a) y=[cos(1-2x)]^4 y' = 8sin(1-2x)[cos(1-2x)]^3 : (b) (xy)^(1/2)=1 1 dy -y -------------(ydx + xdy) = 0, ---- = ---- 2(xy)^(1/2) dx x : 3. 有一個particle順著 y=ln(x) 的軌跡 往右上方向跑 : 已知 x方向上的 changing rate= x^(1/2) m/s : 求出 y方向上在 point (e^2,2) 上的 changing rate 1 dy 1 dx dy 1 dy 1 dy = ---dx, ---- = ---*----, ---- = ---------, ---- = --- x dt x dt dt x^(1/2) dt e : 4. 求出下列的積分值 (我不會打積分符號 以S取代) : (a) S (x /(4-x^2))dx 令 4-x^2 = t, dt = -2xdx -1 dt -ln|t| -ln|4-x^2| 原式 = ---- S---- = -------- = ------------ 2 t 2 2 : (b) S (9/ (81-X^4))dx 81-x^4 = (9+x^2)(9-x^2) = (9+x^2)(3+x)(3-x) 9 1 1 1 ------------------- = --------- + --------- + ---------- (9+x^2)(3+x)(3-x) 12(3+x) 12(3-x) 2(9+x^2) 1 1 1 x 1 1 x 原式 = ----ln|3+x| + ----ln|3-x| + ---arctan(---) = ----ln|9-x^2| + ---arctan(---) 12 12 6 3 12 6 3 : 5. 寫出下列級數為converge 或 diverge ,並說明原因(以&取代sigma) : +無窮 : (a) & 1/n^(1/2) : n=1 1 -1 令 f(n) = ---------, f'(n) = ---------- < 0, 當n>=1, 所以說f(n)恆遞減 n^(1/2) 2n^(3/2) dn |+無限 S --------- = 2n^(1/2)| = 無限大 n^(1/2) |1 原式 diverge, by integral test : +無窮 : (b) & (-1)^n [1/n^(1/2)] : n=1 : (p.s. 對不起 打得很難懂 反正a是b取絕對值的級數) 1 令 f(n) = ---------, f(n) > 0, 當n>=1, 又由(a), f(n)恆遞減, 且 lim f(n) = 0 n^(1/2) x->無限 所以說原式 converge, by alternating series test : 6. 已知 f=W(u,v) , fuu+fvv=0 ,又 u=(x^2-y^2)/2 : v=xy 試證 Wxx+Wyy=0 Wxx + Wyy 我以 fxx + fyy 表示 df df du df dv df df ---- = ----*---- + ----*---- = ----x + ----y dx du dx dv dx du dv d^2f d df df d df d^2f du df d^2f dv d^2f ------ = ----*----x + ---- + ----*----y = ------*----x + ---- + ------*----y = ------x^2 + dx^2 dx du du dx dv du^2 dx du dv^2 dx du^2 d^2f df ------y^2 + ---- dv^2 du df df df d^2f d^2f df d^2f ---- = ----(-y) + ----x, ------ = ------y^2 - ---- + ------x^2 dy du dv dy^2 du^2 du dv^2 fxx + fyy = fuu*x^2 + fvv*y^2 + fu + fuu*y^2 + fvv*x^2 - fu = (x^2 + y^2)(fuu + fvv) = 0 : 7. 題目太難打了 反正是 一題SUBSTITUTION的INTEGRAL : (Jacobian那個) 有提示你 u=.... v=... : 也就是用到: SS f(x,y)dxdy= SS f(u,v)|J(x,y)|dudv -- ※ 編輯: hsnuyi (118.168.236.205 臺灣), 09/12/2019 01:05:51