※ 引述《Rabin5566 (羅賓56)》之銘言： : 各位老師大家好， : 遇到一個國中部的學生，學校老師出給他們想的題目 : 卡很大，請大家幫忙0.0 : 座標平面上，圓心在原點，半徑為n的圓 : 其圓周上的點，座標(x,y)滿足x,y都是有理數的點有無限多個，試說明原因 : 我的想法是，往 : 2 2 2 : x +y =n ，考慮(x,y)會有無限多個有理數解去想 : 發現，當n=拍(圓週率，打不出來請見諒)的時候 : 因為拍平方也是無理數 : 找不到x,y都是有理數，能滿足平方和為無理數 : 可判斷題目有問題，至少要對n有限制才有可能。 : 但問題來了，如果限制n為有理數好了， : 那該如何證明可找到無限多組有理數解呢.... : 卡關卡很大，請各位老師不吝指教，感激不禁~ 末學提供一個方法： 將 2 2 2 x +y =n 作變數變換 x/n=x'，y/n=y' 2 2 x' +y' =1 由其diophantin無限有理數解對( (m^2-n^2)/(m^2+n^2)，(2mn)/(m^2+n^2)) (m，n不同時為0) 其中m、n可代任何整數如固定 m=1， n跑遍所有整數。可額外證明此有無限多解。 故2 2 2 x' +y' =1 有無限多有理解 故 2 2 2 x +y =n 有無限多有理解 例：n=5 作變數變換 x/5=x'，y/5=y' choose m=1，n=3有解(-8/10，6/10) (x，y)=(-8/10*5，6/10*5)=(-4，3) 當m、n跑遍所有Z時，x、y會跑出無限多Q解。 叹悲歌未切为憾奈何 怕岁月过只随信念活 等后世来评说 你是风沙的怒吼 你是断崖的坚守 你是剑锋过后仰望月夜 眉间的寂寞 你是滴水的沉着 你是落花的幽柔 你是万世称颂却为日落 默默哀叹的血肉 英雄寞 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.33.5.124