作者howtodowell (well)
看板CFAiafeFSA
標題[問題] Brownian motion方面的問題
時間Mon Oct 25 00:02:37 2010
ASM P273.
A stock with value S(t) follows an Ito process of the form
dS(t)/dt=0.17dt+0.34dZ
you are given:
(1)The continuously compounded risk-free rate is 0.04.
(2)The stock does not pay any dividends.
以下有三題 前兩題我有算出來
(1)ln(S^2) follows the Ito process
d(lnS^2)=cdt+vdZ
determine c and v.
(2)S^2 follows the Ito process
d(S^2)/S^2=cdt+vdZ
determine c and v.
以上這兩題 我都用Cs=Cs*dS+0.5*Css*((dS)^2)+Ct*dt下去解
但是我是把dS(t)/dt=0.17dt+0.34dZ
看成dS(t)/S=0.17dt+0.34dZ
請問題目給的條件的分母為什麼是dt (if it is dt 這樣dS(t)不就等於零了嗎?)
接下來是我算不出來的問題
(3)A forward F(t) on (S(t))^3 follows the Ito process
dF(t)/dt=cdt+vdZ
Determine c and v.
我們知道以下公式
F(0,T)[S(T)^a]=(S(0)^a)*exp{[a(r-d)+0.5*a*(a-1)*(sigma^2)]*T}...formula(14.7)
其中(0,T)指的是時間 a=3 r=0.04 d=0 sigma=0.34
課本答案寫
A forward has no volatility. See formula(14.7);there is no Z term in the
formula.So v=0. While formula(14.7) started at time 0,the generalization to
F(t,T) would involve replacing T with (T-t):
F(t,T)[S(T)^a]=(S(t)^a)*exp{a(r-d)+0.5*a*(a-1)*sigma^2}(T-t)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...(***)
F(t,T)[S(T)^a]/F(t,t)[S(t)^a]=exp{a(r-d)+0.5*a*(a-1)*sigma^2}(T-t)
We have used S(t)^a=F(t,t)[S(t)^a]in the second line.(A forward maturing
immediately is equal to the underlying asset.)When we differentiate
with respect to t, a negative sign comes down from the exponent.So c is
negative the exponent. In our case
c=-3(0.04)-0.5(4)(3)(0.34^2)=-0.8136
但是4*3應該是3*2 可能課本寫錯了
以上為解答
但我的想法是我直接算
一樣用Cs=Cs*dS+0.5*Css*((dS)^2)+Ct*dt下去解
即C=F(t,T)[S(T)^a]=(S(t)^a)*exp{a(r-d)+0.5*a*(a-1)*sigma^2}(T-t)
當然dS(t)/dt=0.17dt+0.34dZ中分母的dt我把它看成S
算出來的答案跟課本不一樣
請問為什麼呢?而且我算出來的v也不等於零
這題算了3個多小時
快瘋掉了...
謝謝你看完
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◆ From: 140.112.230.16
1F：→ s91012121:首先 題目的分母為 S(t) 才對 而第三題的題目是問你 10/25 01:44
2F：→ s91012121:dF(t,T)[S(T)^3]/F(t,T)[S(T)^3]=cdt+vdZ(t) 10/25 01:46
3F：→ s91012121:跟前面做法一樣都用Ito下去做 最後c=0.39 v=1.02 才對 10/25 01:48
4F：→ howtodowell:所以題目寫錯 解答也錯對嗎? 10/25 02:12
5F：推 Linethan:第三題解答的c我不確定有沒有算錯(我沒有自己動手算) 10/25 10:17
6F：→ Linethan:可是 我確定 v=0是正確的 forward has no volatility 10/25 10:18
7F：→ Linethan:我想 你應該搞錯題目的意思 題目是說 a forward F(t) on 10/25 10:18
8F：→ Linethan:S(t)^3 可是題目並沒有說F(t)=S(t)^3 10/25 10:19
9F：推 Linethan:你是不是誤解成F(t)=S(t)^3?? 所以你才會算出v不為0吧?? 10/25 10:22
10F：推 Linethan:例如說 我先不考慮3次方 假如是forward on S(t)好了 10/25 10:30
11F：→ Linethan:the forward price at t=0 is S(0)*exp(r*t) 10/25 10:32
12F：→ Linethan:你有看到隨機項嗎?? 沒有吧:) 10/25 10:32
13F：推 Linethan:阿等等 那表示 題目的F(t)指的是交割日在時間t的forward 10/25 10:39
14F：→ Linethan:price at 時間0, 不過 好像也可以把題目解釋成 F(t)=交割 10/25 10:40
15F：→ Linethan:日在時間T的forward price at時間t 若是這樣 那就是解答 10/25 10:41
16F：→ Linethan:寫錯了 你應該是算對了 我的推文請當沒有看到>///< 10/25 10:41
17F：→ Linethan:請問這是哪本課本阿? 解答是寫在書裡還是另外出的解答本? 10/25 10:42
18F：推 Linethan:看起來應該是 你跟解答 對題目的解釋不太一樣 10/25 10:47
19F：→ howtodowell:study manual for mfe by Abraham Weishaus 10/25 23:52
20F：→ s91012121:F(t,T)[S(T)^a]=[S(t)^a]exp{a(r-d)+0.5*a*(a-1)* 10/26 00:31
21F：→ s91012121:sigma^2}(T-t) 用Ito去做 對s一次跟兩次微分 對t微分 10/26 00:34
22F：→ s91012121:dZ那項應該不會等於0 就跟我上面說的答案一樣 試試吧 10/26 00:35
23F：推 Linethan:嗯 解答也許是別人寫的 所以想法與解法也許和作者有出入 10/26 10:31
24F：→ Linethan:我建議你可以自己想想看 從題目來看你會怎麼定義F(t) 10/26 10:32
25F：→ Linethan:至少就我來看 我就有兩種定義F(t)的方式 答案自然不同 10/26 10:33