ptt还我稿费啊!!! 期望值打那麽辛苦被你吃了!!! ( ‵□′)───C＜─___-)||| --------------------------发泄完毕---------------------------------------- 《问题》任给一个非自消盘面，其最高首消数至少几combo呢？ 《答案》至少４combo，若刚好４combo则此盘面恰好是同色珠20个、其他5色珠各2个。 因此若非上述盘面，则至少５combo。 解释：1.非自消盘面：盘面没有３连珠。 2.最高首消combo数：只算首消且取最大可能，不算叠珠。 3.举例：15暗、3水、3火、6木、3光 ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● 最高首消 ●●●●●● ●●●●●● → ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● 非自消盘面 最高首消10combo 《发现经过》：（以下所称"盘面"皆为非自消盘面、最多6色珠、格式：横6 X 纵5） 首先 aardvark 在...被ptt吃掉的那篇推文提出：盘面最多可容纳多少个同色珠？ 之後 wlkb0000 给出了一个20个同色珠的盘面 http://tinyurl.com/lclq5yx （题外话：这盘面帮助很大，不仅提供了 aardvark 的问题的最大值猜测，而且在本定理 也提供了最小值的猜测。），因此去猜测不可能存在21个以上（含）同色珠的盘面， 也顺利证完。 再来回到原本问题，我很久之前就自问过了，但是情况太复杂了，就没有继续想。但经由 aardvark 的问题解决後，以及 wlkb0000 这个盘面，让原本问题燃起希望，让我猜测 这个最高首消最小值就是4（能证出真的存在某盘面的最高首消combo刚好就是4最好， 即是下方第2点的情况），只要把其他10个杂色珠各做2个。因此证明只剩两个步骤： 1.不存在最高首消0,1,2,3combo的盘面。 2.20个同色珠，其他10杂色珠，同色珠最高切成首消4combo。 （不管杂色珠combo，因为5色皆2个不会提供额外combo。） 起初我先想第2点，觉得第1点比较难，而昨晚 wlkb0000 说第1点已有idea，因此我专攻 第2点，但试了很多分析，包括：思考隔离combo的关键、先放20个同色珠、先放其他10个 杂色珠、每1combo的珠量与排法、与18个同色珠盘面做比较、差1个杂色珠的combo数影响 、差1个同色珠的combo数影响.....族繁不及备载，失败！ 後来我转向第1点，果然蛮好证的，但还是要以第2点为已知....所以问题还是回到第2点。 之後睡前被我找到一个关键：逆向操作，以15个同色珠为比较对象，成功！ 最後加码证出，最高首消数为4combo的盘面只有这个情况：20个同色珠，10个杂色 珠各2个。也就是说，只要盘面不是20,2,2,2,2,2这个情况，一定最高首消5 combo以上（含）。 不免俗的...特别强调一下 ============================================================================= === 下一页开始可能导致任何不适感，慎入！=== ============================================================================= ============================================================================= === 下一页开始可能导致任何不适感，慎入！=== ============================================================================= ============================================================================= === 下一页开始可能导致任何不适感，慎入！=== ============================================================================= 【定义】 1.以下所指"盘面"皆为非自消盘面。 2.以下所写A,B,C,D,E,F分别代表6色珠以及其个数。 3.以下所写X不一定同色。 　　　　 4.以下所写"以上"、"以下"皆代表"含"。 【定理】（A-W-Z六色盘面首消定理） 任一非自消盘面的最高首消combo数最少有4combo。 且刚好4combo的时候 若且为若 珠量分布为：20个同色珠、其他5色珠各2个。 诚如之前所说，需要先证明一些引理才能证明这个定理。 【引理１】15个同色珠，其他15杂色珠，同色珠最高切成首消5combo， 且达5combo时排法只有两种： （以A为15同色珠、X为其他杂色珠，X间不一定同色） （一）AAAXXX （二）XXXAAA XXXAAA AAAXXX AAAXXX XXXAAA XXXAAA AAAXXX AAAXXX XXXAAA 证明：若6combo以上则此同色珠数量为18个以上，矛盾。 因此最多5combo以上，而由（一）、（二）印证了5combo的存在性。 至於只有这两种排法的证明再此不赘述，先排除纵向的方式比较好证，之後穷举。 【引理２】（即为 aardvark 的问题与证明。） 盘面每色珠数量为20个以下（等价於：盘面任5色珠数量总和10个以上） 证明：等价叙述显而易见，仅证明前者。 假设存在某色珠A，数量为21个以上， 观察盘面： 111222 333444 555666 777888 999VVV 则111中必存在1个色珠不为A，否则会构成自消盘面，同理其他9组都含1个色珠 不为A，因此至少含有10个色珠不为A，即A色珠数量为20个以下，矛盾。 【引理３】盘面20个同色珠，同色珠最高切成首消4combo。 证明：假设其最高首消combo数为5以上（令20个同色珠为A） 则A色珠分布情形为： 3 3 3 3 3 5 其中：1."3"代表至少3个为1combo消除 2."5"代表：(a)可能些许自体形成消除 (b)可能些许分给"3"一起消除 (c)可能些许没被消除 再来即是显而易见的关键：将此5个珠子用B色珠代替，A色珠首消combo数不变。 因此形成了：15个A色珠且A色珠首消5combo的A色珠不自消盘面。 接着利用【引理１】，只有（一）、（二）两种可能，只讨论（一），（二）同理 　　　 　　　由（一）的形式：AAAXXX XXXAAA AAAXXX XXXAAA AAAXXX 　　　　 得知只要把"那5个以B色珠代替"的珠子还原回去A，即可得到原来盘面，但换回去 的过程不可减少A色珠首消combo数。 由上图红色的X注明是换了会减少A色珠首消combo数的位置，得知仅剩4位置可容纳 5个A色珠，矛盾。 以上3个引理证明完毕，接着可以证明本定理。 【定理证明】假设存在某盘面其最高首消combo数为n ┌───┐ │Step I│ └───┘ (1) n=0：则A,B,C,D,E,F≦2，矛盾。 (2) n=1：不失一般性，假设此1combo正是A，则A≧3 且B,C,D,E,F≦2（若否，不失一般性假设B≧3，可排成：AAABBB XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX 至少2combo，矛盾。） 　　　　 因此B+C+D+E+F≦10，得知A≧20，再由【引理２】知道A=20，再由【引理３】 　　　　 知道至少4combo，矛盾。 （但是从B,C,D,E,F≦2其实可得此盘面正是A=20,B=C=D=E=F=2，因此刚好4combo ，因为杂色珠不会贡献combo。）　　 (2) n=2： (a) 2combo同色：不失一般性，假设此2combo正是A，则A≧6 且B,C,D,E,F≦2 （若否，不失一般性假设B≧3，可排成： AAAXXX 其中X必有非A色珠塞入，因为【引理２】确保A以外的色珠 BBBXXX 为10个以上，目前用了X+B=4，因此至少3combo，矛盾。 AAAXXX XXXXXX XXXXXX ） 因此B+C+D+E+F≦10，得知A≧20，再由【引理２】知道A=20， 再由【引理３】知道至少4combo，矛盾。 (b) 2combo异色：不失一般性，假设此2combo正是A,B，则A,B≧3 且C,D,E,F≦2 （若否，不失一般性假设C≧3，可排成：AAABBB CCCXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX 　　　　　　　　　　 　至少3combo，矛盾。） 因此C+D+E+F≦8，但A,B≦5（若否，则回到(a)，矛盾。） 因此A+B+C+D+E+F≦18，矛盾。　　　　　 (2) n=3： (a) 3combo同色：不失一般性，假设此3combo正是A，则A≧9 且B,C,D,E,F≦2 （若否，不失一般性假设B≧3，可排成： AAAXXX 其中X必有非A色珠塞入，因为【引理２】确保A以外的色珠 BBBXXX 为10个以上，目前用了X+B=8，因此至少4combo，矛盾。 AAAXXX XXXXXX AAAXXX ） 因此B+C+D+E+F≦10，得知A≧20，再由【引理２】知道A=20， 再由【引理３】知道至少4combo，矛盾。 (b) 2同色1异色：不失一般性，假设此2combo正是A，1combo正是B，则A≧6，B≧3 且C,D,E,F≦2 （若否，不失一般性假设C≧3，可排成： AAAXXX 其中X必有非A色珠塞入，因为【引理２】确保A以外的色珠 BBBXXX 为10个以上，目前用了X+B+C=8，因此至少4combo，矛盾。 AAAXXX CCCXXX XXXXXX ） 因此C+D+E+F≦8，但A≦8（若否，则回到(a)，矛盾。） 因此得B≧14≧9，回到(a)，矛盾。 (c) 3combo异色：不失一般性，假设此3combo正是A,B,C，则A,B,C≧3 且D,E,F≦2 （若否，不失一般性假设D≧3，可排成：AAAXXX BBBXXX CCCXXX DDDXXX XXXXXX 至少4combo，矛盾。） 因此D+E+F≦6，但A,B,C≦5（若否，则回到(b)，矛盾。） 因此A+B+C+D+E+F≦21，矛盾。 ┌────┐ │Step II │ └────┘ 从以上讨论加上【引理３】可知，任一非自消盘面的最高首消combo数最少有4combo，且 确实存在盘面刚好是4combo。接着证明最後一个部分： 刚好4combo的时候 若且为若 珠量分布为：20个同色珠、10个杂色珠各2个。 (1) <=：即为【引理３】 (2) =>： (a) 4combo同色：不失一般性，假设此4combo正是A，则A≧12 且B,C,D,E,F≦2 （若否，不失一般性假设B≧3，可排成： AAAXXX 其中X必有非A色珠塞入，因为【引理２】确保A以外的色珠 BBBAAA 为10个以上，目前用了X+B=9，因此至少5combo，矛盾。 AAAXXX XXXXXX AAAXXX ） 因此B+C+D+E+F≦10，得知A≧20，再由【引理２】知道A=20， 但是从B,C,D,E,F≦2其实可得此盘面正是A=20,B=C=D=E=F=2。 (b) 3同色1异色：不失一般性，假设此3combo正是A，1combo正是B，则A≧9，B≧3 且C,D,E,F≦2 （若否，不失一般性假设C≧3，可排成： AAAXXX 其中X必有非A色珠塞入，因为【引理２】确保A以外的色珠 BBBXXX 为10个以上，目前用了X+B+C=8，因此至少5combo，矛盾。 AAAXXX CCCXXX AAAXXX ） 因此C+D+E+F≦8，但A≦11（若否，则回到(a)，矛盾。） 因此得B≧11≧6，可排成：AAAXXX BBBAAA AAAXXX BBBXXX XXXXXX 其中X必有非A色珠塞入，因为【引理２】确保A以外的色珠为10个 以上，目前用了X+B=8，因此至少5combo，矛盾。 (c) 2同色2同色：不失一般性，假设此2combo各是A,B，则A,B≧6 且C,D,E,F≦2 （若否，不失一般性假设C≧3，可排成：AAAXXX BBBCCC AAAXXX BBBXXX XXXXXX 至少5combo，矛盾。） 因此C+D+E+F≦8，但A,B≦8（若否，则回到(b)，矛盾。） 因此A+B+C+D+E+F≦24，矛盾。 (d) 2同色2异色：不失一般性，假设此2combo是A，1combo各是B,C，则A≧6，B,C≧3 且D,E,F≦2 （若否，不失一般性假设D≧3，可排成：AAAXXX BBBDDD AAAXXX CCCXXX XXXXXX 至少5combo，矛盾。） 因此D+E+F≦6，但A≦8（若否，则回到(b)，矛盾。） 且B,C≦5（若否，则回到(c)，矛盾。） 因此A+B+C+D+E+F≦24，矛盾。 (e) 4combo异色：不失一般性，假设此4combo正是A,B,C,D，则A,B,C,D≧3 且E,F≦2 （若否，不失一般性假设E≧3，可排成：AAAXXX BBBXXX CCCXXX DDDXXX EEEXXX 至少5combo，矛盾。） 因此E+F≦4，但A,B,C,D≦5（若否，则回到(d)，矛盾。） 因此A+B+C+D+E+F≦24，矛盾。 综合以上讨论，只有(a)情况会发生。 ┌───┐ │Q.E.D │ └───┘ 个人有感： 其实证出这个还蛮开心的，如果你只是看了这个定理的结果或是证明觉得OK，其实应该 没啥兴奋感。我好久前就是遇到想到这个问题，但是不知道从何下手，摸不着头绪，觉得 从哪边讨论都很累，後来是由於a大问的问题还有磨神那个盘面才有方向。只是中途又 卡在"20个同色珠，其他10杂色珠，同色珠最高切成首消4combo。"这关键又灰心了一阵子 试过很多方法都无法讨论完善，正想着放弃的时候，让我想到填回去的方法，整个就出来 了。 虽然写定理/证明的顺序是先引理再定理，但是思考逻辑完全是反过来的，看是需要什麽 样的条件才去想有没有这样的引理。 不过很靠运气的是...如果没有a大问的问题还有磨神那个盘面真的就无法了...而且从这 定理会发现，很多矛盾都是导向20,2,2,2,2,2这分布，而且这分布又是唯一会导致4combo 这有点奇妙啊！ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 61.231.118.71 ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/ToS/M.1426399643.A.48F.html ?? 懒人包就是第一页呀 非自消盘面（没有３连珠）至少都能首消4C 而且会发生4C的只有一种情况，就是珠子分部20,2,2,2,2,2 是不是"非自消盘面"太敖口?? ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 14:17:11 跪求中文懒人包... ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 14:23:35 我就是怕只打"盘面"，到时候一堆人问全版同色之类的这种... 我已经用"非自消"来表示：非转属、非龙刻的这种没有３连珠的盘面 ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 14:24:56 有无禁珠没差~前提已经含最多6色珠，只是"非自消"改成白话的不开转珠/龙刻 好像比较像... 可是我下面有解释说"不自消"就是盘面上没有3连珠... 前面一堆不懂的可以提一下哪边吗??? 我精华都在第一页啊QQ ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 14:30:04 不是阿 这样心珠有25颗，一定有3连心 定义那边有写AB是啥米碗糕 ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 14:36:32 我正想找你救援说 好多人懒人包都看不懂了QQ 我中文好烂XDD 话说0123C在後面证明里 ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 14:52:26 谢谢帮解释 叠珠....不熟啊!!! 交给你了XDD 我有补了心路历程，如果对这过程有兴趣其实蛮重要且有趣的！ ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 14:54:44 是从CDEF与A得知B≧11，但是只要B≧6就可以用前面的结果导矛盾 那这个你应该比较轻松： 令S为不自消盘面所成集合 f：S→{0~10}，f(x)定义为x的最高首消combo数 则：(1) inf f(x) = 4 x€S (2) f(a) = 4 if and only a 珠量分布为20,2,2,2,2,2 ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 15:03:11 我B≧6是从B≧11来的阿~因为C,D,E,F≦2，A≦11，所以除了B的总合≦19 全部只有30个，推得B≧11 ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 15:05:33 我就是证无法啊XDD 也就是我们三个人卡最久的地方 ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 15:06:28 喔对 叠珠的方式要问磨神了 我记得他当初的盘面有多叠1C 我这盘面跟他不一样 ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 15:08:21 谢解释 s大我的盘面是指"非自消"盘面，八成就是你的所有盘面，只是不能转属/龙刻 总依据就是：场面没有同色3连珠 ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 15:09:36 ...那只是事发经过，正式证明我都有写定义啊 ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 15:17:43 别想用问号勾引我 我不会上当的 ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 15:18:19 不觉得这个比转珠好玩吗(咦? 你这盘面也太无聊 报应RRR 之前看你的落珠拓墣头也很痛啊 不是啊 是全部 只是最小值发生在你讲的case没错 小当家是谁? (．＿．?) 谢谢你一开始的问题XDDDD 我都习惯吃米糕 呛我中文不好呛够了没 ( ‵□′)───C＜─___-)||| ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 20:29:43