※ 引述《Sidney0503 (Sidney0503)》之铭言： : ※ 引述《khfcgmbk (三毛儿)》之铭言： : : 刚刚我在交一个小朋友算数 : : 他觉得很奇怪为什麽要先乘除後加减 : : 我只能跟他解释算出来答案会不一样 : : 像是 : : 1+1x2=3 : : 而答案不是4 : : 但我也忘记当初老师怎麽解释先乘除後加减了 : : 有没有乡民可以教我？ : : ----- : : Sent from JPTT on my iPhone : 简而言之 : 就跟他说因为自然数加法是abelian group的operator : 此operator存在加法单位元素0 即a+0=a 而且有交换性 即a+b = b+a : 乘法放进去是ring的第二operator : ring的定义是第二operator(*)对於第一operator(+)具有分配性 : 所以 a*(b+c)=a*b+a*c : 但是加法对乘法没有分配律 因此如果加法没有括号起来就没有分配的另一个对象 : 所以a+(b*c) = a+ b*c : 也是一般所谓的乘法有优先权 : 很简单吧 这篇回文写得不错，不过这次遇到的问题比较像是「为何定义这样定？」 因此容敝鲁再多补充一些，把细节讲清楚，但略过部分的证明。 首先，因为 Ring 的定义本来就是从整数 Z 复制过来，然而 Z 又是从正整数 N 构造的， 因此本篇文主要回答在 N 上的「先乘(除)後加(减)」问题。 （知道 Z 是 N 的 quotient set 的，应该就知道敝鲁的意思。 不知道的也没关系，此非本篇重点） Step 1:正整数之定义与正整数上的运算 数学家当初发展集合论的时候，便想要把所有数学世界的物件都回归集合，即使是最自然 存在的正整数也不例外。一般最耳熟能详的正整数定义就是皮亚诺公理，在此用比较口语 化的方式来表述之。 Definition: (Peano Axioms) 正整数是一个集合 N，并且满足以下五个条件。 a. N 里面有一个数字 1 b. 存在一个「後继函数」S: N → N，此时对每个 N 里的数字 n，S(n) 称作 n 的後继者 c. 如果有两个数满足 S(m) = S(n)，则 m = n （亦即 S 是 injective） d. 在 N 里面，不存在任何数字 n 使得 S(n) = 1 （亦即 1 不落在 S(N) 里面） e. 若有一个 N 的子集合 K 满足以下两点： (1) 1 在 K 里面 (2) 如果数字 n 在 K 里面，则 S(n) 也会在 K 里面 则 K = N （亦即在 N 上可以作数学归纳法） 如果有乡民现在看不懂，你可以先偷偷地把 S(n) 想成 n+1，这样应该就全看懂了~ 上面的定义完全没有触及到正整数的运算，现在我们来定义加法。 Definition: (Addition on N) 我们定义一个二元运算 + 如下：给定一个正整数 n，定义 +: N x N → N (1,n) → S(n) (S(m),n) → S(+(m,n)) if +(m,n) is defined 根据皮亚诺公理的 e，此 + 的定义域成功扩展到 N x N，并将 + 称作正整数上的加法 另外为了方便，我们将 +(m,n) 书写成 m + n，因此 S(n) = 1 + n。 Theorem: (Properties of Addition) 以上定义的加法 + 满足下列两件事情。 a. 对任意的正整数 k, m, n，都有 (k + m) + n = k + (m + n) （亦即有结合率） b. 对任意的正整数 m, n，都有 m + n = n + m （亦即有交换率） 证明就是用数学归纳法来证就可以了，这留给有兴趣的乡民自己作作看。 我们定义的加法只有二元运算，也就是一次只能两个数字加起来，遇到要加超过三个数字 就必须使用括号，告诉我们是谁先加谁後加。不过因为有结合率，先加後加没有差别，因 此加法就省略括号了。 接着我们来定义乘法~ Definition: (Multiplication on N) 我们定义一个二元运算 * 如下：给定一个正整数 n，定义 *: N x N → N (1,n) → n (S(m),n) → *(m,n) + n if *(m,n) is defined 根据皮亚诺公理的 e，这个 * 的定义域扩展至 N x N，此时称 * 为正整数上的乘法 为了方便，我们将 *(m,n) 书写成 m*n，就是大家熟悉的乘法记号罗~ Theorem: (Properites of Multiplication) 以上定义的乘法 * 满足下列三件事情。 a. 对任意的正整数 k, m, n，都有 (k*m)*n = k*(m*n) （亦即有结合率） b. 对任意的正整数 m, n，都有 m*n = n*m （亦即有交换率） c. 对任意的正整数 k, m, n，都有 (k+m)*n = (k*n)+(m*n) （亦即有乘法对加法 以及 k*(m+n) = (k*m)+(k*n) 的分配率） 这三条的证明同样可以使用数学归纳法，此处省略之。 另因为乘法也是定义成二元运算，所以当我们要处理三个数字相乘时要使用括号告诉我们 谁先乘谁後乘。不过有了结合率後，我们也在这边省略了括号了。 读到这边，各位应该可以发现其实上述定义其实也没这麽神秘，因为加法就是照我们的常 识去定义的，乘法也是照我们所熟悉的「反覆累加」来定义，因此应该都算直观 :) 记得有一位乡民在原文有问「为何加法对乘法没有分配率？」，相信这边应该已经充分地 回答了他的问题了。（因为算一下就会发现没有Q_Q） Step 2: 先乘(除)後加(减)?! 其实一切的根源都来自括号省略的问题，当一堆二元运算碰在一起的时候本来就要加上括 号来搞清楚操作的顺序。目前我们知道加法连续操作跟乘法连续操作都可以分别省略括号 那问题当然就来自加法跟乘法的混合操作了，也就是 k+m*n 究竟应该代表 (k+m)*n 还是 k+(m*n) 呢？ （能问出这种问题的小朋友蛮不错的，有在动脑而不是死板的把知识吞下去） 我自己的认知也如同原文，是问题来自乘法对加法的分配率 首先，假设我们遇到下列这个算式 (x + y + z + w)*n 如果我们规定这种类型的算式（就是中间几个加都可以）可以省略括号，变成 x + y + z + w*n 那究竟这个没有括号的算式是代表下列哪一个算式呢？ x + y + (z + w)*n x + (y + z + w)*n (x + y + z + w)*n 没人知道，而且这三个答案很可能都完全不同，因为用分配率写开来分别变成 x + y + (z*n) + (w*n) x + (y*n) + (z*n) + (w*n) (x*n) + (y*n) + (z*n) + (w*n) 这显然是差多了，因此在这种情形下可以省略括号很容易带来不必要的麻烦，所以此情形 我们约定不省略括号。 那麽，如果是下面这种算式 n + (x*y*z*w) 省略了括号会怎麽样呢，变成 n + x*y*z*w 那会不会误会成 (n + x)*y*z*w 呢？并不会，因为我们已经在前面约定好这种形状我们是不省略括号的，如此一来 n + x*y*z*w 只会有一种意思了，就是 n + (x*y*z*w)。 那你可能会问说，其他的形状呢？比如说 x*u + y*v + z*w 是从谁省略过来的呢？我们知道因为有分配率的缘故，因此如果原本算式长成 x*(u + y)*(v + z)*w or x*u + y*(v + z)*w 之类的，括号都不该省略。因此它只能是 (x*u) + (y*v) + (z*w)，才不会造成岐义。 因此，这样我们成功确立了「先乘(除)後加(减)」的合理性。 不过上面都没讲到减法跟除法呢，这是为何？因为在正整数 N 上没办法全域定义减法跟除 法，所以上面就先略过了。不过在有理数 Q 上就有全域的减法以及除法了，建构方法也是 从 Z 过去的，因此有分配率（详情参考我快两年前写的一篇文，但那篇疑似消失了） 从这样的观点去看，就有「先乘除後加减」了~ 希望这篇文可以解决各个乡民在前面讨论的一些疑惑 :) --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 114.43.82.250 ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Gossiping/M.1518076948.A.972.html 那你可以只看 Step 2 Step 2 还不够白话的话我也没办法罗(摊手 ※ 编辑: CKLee (114.43.82.250), 02/08/2018 16:10:23 虾？你家小朋友听不懂 Step 2 怪我罗？课本最好会这样解释... ※ 编辑: CKLee (114.43.82.250), 02/08/2018 16:12:09