※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之铭言： : ※ 引述《msm (最想去的地方)》之铭言： : : 标题请使用下列格式 [标题] 年级 科目 主题 确定无误再行po文 : : 标题或内文未依格式者，禁言一周。详细内容请见置底公告 : : 请尽量以教学的角度询问解题方向 : : 另外，使用者发文时即同意且遵守本板板规，并熟知本板已不开放文章自删之公告； : : 非必要时，板主无义务代为删文。 : : ----------------------同意发文需知後可删除本行（含）以上文字-------------- -- : : 1.年级：高一 : : 2.科目：数学 : : 3.章节： : : 多项式 : : 4.题目： : : 求余式 : : https://i.imgur.com/HjID6Bh.jpg : : 5.想法： : : 目前尝试将除式分解为（x^2+1)(x^2+x+1)但仍卡关 : : 想问问大家有没有别的方法 : x^2006-1 除以 x^2+1 的余式可以用 f(i)=-2 看出来，是 -2。 : x^2006-1 除以 x^2+x+1 的余式可以用 f(ω)=ω^2-1 看出来，是 -x-2。 : (其中 ω 是 x^2+x+1=0 的随便一根。) : 标准流程就是：设 f(x) = (x^2+1)(x^2+x+1)q(x) + (ax+b)(x^2+1) - 2 : /*然後把 (ax+b)(x^2+1)-2 拿去除以 x^2+x+1 还必须余 -x-2。 : 就是 x^2+x+1 要整除 (ax+b)(x^2+1)+x， : 也可以说是 x^2+x+1 | x-x(ax+b)， : 但 x^2+x+1 是质式，而且不整除 x，所以 x^2+x+1 | 1-(ax+b)。 : 这只能发生在 (a,b)=(0,1) 的时候。*/ : 所以题目要的余式就是 x^2+1-2 = x^2-1。 : /* */之间的计算过程可以随自己喜欢去写，也可以用长除法。 : 不标准的过程还可以配合辗转相除法来用 CRT。 不标准的做法是这样，令(x^2+1)(x^2+x+1)=0 -> (x^2+1)(x-1)(x^2+x+1)=0 -> (x^2+1)(x^3-1)=0 -> (x^2+1)(x^4-x^2+1)(x^3-1)(x^3+1)=0 -> (x^6+1)(x^6-1)=0 -> x^12-1=0 -> x^12=1 -> x^2006-1=(x^12)^167*x^2-1=x^2-1 以上所有等号其实应该都改成同余符号才对，但是写等号结果也是一样。 这类题目可以搜寻广义余式定理 --

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