作者XII (Mathkid)
看板tutor
标题Re: [解题] 高一数学-数列级数
时间Tue Oct 14 13:47:15 2014
※ 引述《Barney (legendary)》之铭言：
: 1.年级：高一
: 2.科目：数学
: 3.章节：
: 数列与级数
: 4.题目：
: 数列 2/3, 4/4, 8/5, 16/6, ...., (2^n)/(n+2)
: 将值小於100的项加总後，较接近以下何者。
: (A) 160
: (B) 180
: (C) 190
: (D) 220
: (E) 320
: 5.想法：
: 答案为(C)，目前的想法只有大略估算每一项的值到小数点第一位，
: 再加总。 其实就是暴力法硬算。
: 但是就是想不到要怎麽解，比较漂亮。
: 想请教各位是否有比较简单的估计法呢？(不一定要算出正确值、或导出通解)
: 感谢各位真强者，拨冗回覆Orz
设 n+a>0,
1 -1 2
----- □ ----- + -------
n+2 n+a n+a+1
<=> an □ -a^2+a-2
-1 2 1 -1 2
故 ----- + ----- < ----- ≦ ----- + ---
n n+1 n+2 ↑ n-1 n
↑
n≧4
n 2^k
令 S_n=Σ -----
k=1 k+2
2 4 8 n -1 2 1 2^{n+1}
则 S_n ≦ --- + --- + --- + Σ 2^k(---- + ---) = ---- + ---------
3 4 5 k=4 k-1 k 15 n
n -1 2 2^{n+1}
S_n ≧ Σ 2^k(---- + -----) = -2 + ---------
k=1 k k+1 n+1
故 184.~≦S_10≦204.~
选 (C)
--------------------------------------------------------------------------
S_10 其实直接算就可以了...
上界 1 1 2 3 5 8 15 26 47 86 => 194
2/3 4/4 8/5 16/6 32/7 64/8 128/9 256/10 512/11 1024/12
下界 0 1 1 2 4 8 14 25 46 85 => 186
※ 编辑: XII (140.112.25.105), 10/14/2014 13:56:33
1F：推 diego99: 这篇最後可能比较像是该出题老师的想法 10/16 00:12