作者XII (Mathkid)
看板tutor
标题Re: [求助] 数学翻译问题
时间Wed Mar 12 18:26:45 2014
※ 引述《chliao2006 (chien)》之铭言：
: Let n be a fixed positive integer,
: and suppose we list in increasing order all numbers a/b ,
: where 1 <= a,b <= n , and the fraction a/b is in lowest terms.
: Show that if a/b and c/d are consecutive fractions in this list,
: then bc - ad = 1.
图形的证法
设 a/b < c/d 为相邻最简分数
令 O(0,0),P(b,a),Q(d,c),则 a/b=m(OP),c/d=m(OQ)
若 △OPQ 除 O,P,Q 外还有格子点 M(x,y)
因 a/b,c/d 为最简分数, 故 M 不在 OP,OQ上
则 1≦x≦n,1≦y≦n,且 a/b<y/x<c/d,不合
故 △OPQ 无 O,P,Q 外的格子点
由 Pick 公式
因 △OPQ 面积 = (1/2)(bc-ad) = 内部格点数+(1/2)边界格点数-1=0+(1/2)(3)-1=1/2
故 bc-ad=1
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◆ From: 140.115.31.174
※ 编辑: XII 来自: 140.115.31.174 (03/12 18:32)
1F：→ XII:由图可看出在a/b,c/d(bc-ad=1)之间(a+c)/(b+d)分母最小 03/12 18:40