一、 化简、求值、求解 之区别。 1) 若 2(x-3)-(2-x) 是 3，那 x=_____ 答案要填什麽呢？ 2) 若 x = 5，2(x-3)-(2-x) =_____ 那这个呢？ 3) 2x+1=5, 2(x-3)-(2-x)=____ 4) 2(x-3)-(2-x)=ax+b ，a=___ b=___ 在这一章，我们对於未知数有三个使用的方法， 许多学生并没有清楚地分辨「化简」、「求值」和「求解」 我们可以这麽想，一包饼乾的价钱 x元，我不知道那实际上是多少钱， 然後你跟我说你的钱买两包还多三块，那是 2x+3 ； 然後小明说他的钱是你的两倍，那是 2 (2x+3) -- 这样我还是不知道小明有多少钱。 本来呢，一个「根本不知道」的东西是很难去思考的；但透过了设出未知数 x ， 我可以把你的钱以 2x+3 来表示、把小明的钱用 2(2x+3) 来表示 -- 这样就叫作「x 的多项式」。 也就是说，「多项式」是用来把一个不知道是多少的东西 (你的钱、小明的钱)， 用另一个未知的东西 (饼乾价钱 x 元) 来表示的方法。 那如果我今天知道了，饼乾一包是 10 元； 我可以知道你的钱是 23元、小明的钱就是 46元 这个 「把 多项式之中， x 用某个数字代入，以取得整个多项式的值」 的计算过程，就叫作「求值」 那如果今天，我仍然不知道一包饼乾是多少，但是我无意间发现你的钱是29元； 於是我就想 2x+3 = 29 的话， x = 13；结果我就算出了一包饼乾原来是 13 元。 像这样， 「已知多项式的值，回过头来求 x 是多少」 的这个计算，就叫作「求解」。而上面这个 「 2x+3 = 29 」就被称为是「方程式」 而 2(2x+3) 被 整理 成是 4x+6，的这个行为，叫作「化简」 许多学生会取巧用「有等号就是方程式」的方式去记忆，於是上面那四题里面， 第一二题的题目都有等号，第四题没有，他们就会搞混。 其实老师、家长们在教的时候，不应该让学生把「数学算式」和「思考逻辑」分拆开来； 也就是说，要让学生懂得去看题目、想想题目这时候要问的是什麽， 而不只是去记住「有等号就是方程式」这样 以第一题为例，虽然题目上有等号，但它讲了「若 2(x-3)-(2-x) 是 3」，然後问你 x 是多少，这就是方程式求解。 「是」这个字，本身就具有 「 = 」的意义；所以就是求解 2(x-3)-(2-x) = 3 再来看第二题，逗号前面说了 x = 5，接这问你 2(x-3)-(2-x)是多少；这就是「多项式 求值」；所以把 x 用 5代入就可以了。 在这里，大家应该慢慢地了解到， 「逗号」前後可能是两条式子，这两条叙述句都要成立。 在国一，题目不会太难，所以多半前面那句会是後面的「前提」，也就是「提示」。 於是再看第三题，同样的，这题也有两句 「2x+1=5」 如果这句的等号会成立，那我们就可以把 x 给解出来 => x = 2 这样的话，你就会发现後面这句「 2(x-3)-(2-x)=____」， 其实又是要我们代入「求值」的问题。 第四题对於国一的同学来说，就满困难的了 -- 它不是超出范围，而是很难想到它在问什麽。 同样题目有两部份，後面那部份就是在问 a 和 b；而前面看起来有点像是方程式。 但，我们怎麽可能知道 2(x-3)-(2-x)=ax+b ，解出来的 x 是多少呢？ 所以我上面就说明、提醒了，我们「不能只看 "有没有等号"」； 它要「给你一条方程式，然後问你 x 其实是多少」，那才是方程式的「求解」。 第四题并没有要问你 x是多少，它并不是要你求解方程式。 题目说 2(x-3)-(2-x)=ax+b，我们可以把左边整理一下，变成 3x-8 = ax+b；然後就会发 现 a= 3 ，b= -8 也就是说，这一题其实说穿了，是在考大家「化简」；但是题目换个方式问， (有一点像是在考验学生的文字、符号理解能力) 不问大家「化简之後会变怎样的多项式」，而是说「如果化简完成後，会变成 ax+b，那 a 和 b 分别是多少」 (还有更拐弯抹角，问 a+b 是多少的) 所以说，一个问题现在到底是要我们「化简」、「求值」，还是要「求解x」， 不能单看「有没有等号」； 一定要带学生们去想清楚题目的意思，根据当下的题意来判断。 「化简」和「解方程式」还有一个很大的不同； 就是方程式基於「等量公理」可以等号两边「同乘 or 同除」， 藉以消去分母、把系数变成整数；但，化简」不行。 因为一但除了、乘了，整个多项式就变成了数倍，就不是原来那个多项式了； 所以化简的时候只可以「通分」或「提出公因数」。 这个道理，也是为什麽「方程式计算，每行前面不能放 " = "，要放箭头」的原因 -- 同 同乘、同除後，就不是原本那条多项式了，所以不能说它们相等。 二、 分配问题 分配，就是「除法」。 在国小的时候，我们用 「被除数」除以「除数」 = 「商」 …………「余数」 来描述分配。 在学过方程式之後，因为那个「………余」 不能拿来算； 而且对大部份的学生来说，乘比除好算、加比减好算； 所以我会建议我们改写成： 「 被除数 = 除数 x 商 + 余数」 所以说， " 老师分糖果，每个学生拿6个还剩三个 " 这个描述要列式， 第一思考的是「谁被谁分」-- 谁是除数？ 谁是被除数？ 也就是是「一个学生会分到很多糖果」，还是「一个糖果会分到很多学生」？ 於是我们会发现，学生是除数，糖果是被除数。 所以 「糖果数 = 学生数 x 6 + 3」， 如果学生人数是x，那 糖果有 6x+3 颗； 如果糖果有 x 颗，那学生有 (x-3)/6 人 <需整除> 有时候不能只依赖中文的用字；比如说「学生分班级」，说是说「学生」去「分班级」； 但其实一名学生只会有一个班级，但一个班级却会有很多学生。 所以学生其实是「被分」，是被除数。 所以一定要稍微想一下「谁才是除数」 三、 追及问题 甲追上乙、乙追上甲，或是甲乙相向碰头，许多学生看到这种问题，总会有一种「哦，我 好像知道是怎麽算」；但最後算出来却又未必会对、甚至真的要写式子的时候又不见得写 得出来。 会有这种现像的原因，是因为大家都用「不只一种角度」在看待这些问题，却又没有把这 些角度想个清楚、就又换另一种。 比如说，甲追上乙，所以可以「设甲的速度比乙的速度多 x」 但你一这麽做，「时间 乘以 x」 就不是「甲走的距离」也不是「乙走的距离」； 而是「在特定时间里，甲追赶乙、甲比乙多走的距离」 -- 但又不一定就是题目一开始甲乙之间的差距，要看题意…… 总之，时而在「甲速度 乘上 时间 = 距离」，时而在「甲比乙快的速度 乘上……」 时而在「但是乙比甲前面……」这几种想法里切换； 一觉得好像有点难想，就又换了一个角度而不自知； 於是学生一条方程式里面，这个和那个多项式是用不同的设想角度列出来的，这样就会错 -- 而这往往就是最後写出来的式子不正确的原因。 所以在这里，有熊老师建议大家这麽想： 追及： 就是 「同一个时间」在「同一个地点」 如果，出发时间相同，就是「经过了相同时间」 如果，出发地点相同，就是「行经了相同距离」 想清楚了这点，再利用「(行经) 距离 = 时间 x 速度」来列式； 或是用 「所在位置 = 起跑点(离原点多远) + 行经距离 」来列式也行。 总之就是要想清楚现在的条件，和所选择用来列式的思维。 4. 应用问题求解流程 在之前的网志里，我们说到了「设未知数不是为了 "求解"； 是为了方便思考」 许多国一学生不懂这点，所以一心只想记住最好的「设法」和「列式方法」，於是很多题 型记了又忘； 所以我都会在国一上，就直接教学生，可以设出不只一个的未知数，然後透过置换，「将 其他的未知数，都以x来表示」 详细的流程，我附一张表在这里 ；http://ppt.cc/x7Nq 不过如果看这张表，还不太懂的话；这有点一言难尽，建议看看底下第 28 集的连结。 5. 消失的未知数 在国一上的这章里，有些题目其实根本不只一个未知的东西， 只是因为一些窍门，使得它「看起来可以只设一个未知数」。 其中一种情形，便是有的时，第二个未知数会被「约掉」 -- 真的要把题意想清楚的话，其实应该是要设两个未知数去想，但题目最後问的答案， 在计算过程中，会把其中一个未知数「同除」而约掉。 这导致正确解答看起来，这题好像只需要一个未知数就可以 (甚至是不需要未知数也可以)。 但其实，如果只设一个未知数，等於是要把另一个未知数「没有理由地当成 1 」 -- 这是一种实用，但是我不建议的做法； 如果让学生习惯了自行没来由地去设数字，之後的数学很容易会一直学不好。 因为学生很可能会只要一遇到难题，就把脑筋动到「那假如我把这个当成1」这样去想； 反而变成，老师的讲解他没有听进、他在想着是不是有更简单的算法 -- 但是这些算法通常都是错的。 这样的问题，在国中常见的有四种， 一种是「男女分工、合工」问题 (总工作量被省略)， 一种是「商品打折」 问题 (原价被省略)， 一种是「等距来回」的问题 (距离被省略)， 和「蜡烛燃烧」 (长度或时间被省略)的问题； 本篇的 FB 网志版在此：https://www.facebook.com/notes/524431487664664 以下附录各集的影片连结 【为什麽要学数学？】有熊老师陪你教数学 国一上 第1集 https://www.youtube.com/watch?v=qMsj4MyT_ns 【设未知数，不是为了求解】有熊老师陪你教数学 国一上24集 本集：「为什麽要 「设x」？」、「等量公理 & 移项」 https://www.youtube.com/watch?v=JM7PY87sdhs 【生活中的方程式】有熊老师陪你教数学 国一上25集 本集：「在活中各种数值的 "关系"」、「打八折再加两成 vs 加两成再打八折」 https://www.youtube.com/watch?v=fRTXQ6uVjnQ 【数学常识衍生的方程式】有熊老师陪你教数学 国一上26集 本集：「数学常识衍生的方程式」、「达文西、莫内」 https://www.youtube.com/watch?v=6FQz9OKefIk 【多项式化简 vs. 方程式求解】有熊老师陪你教数学 国一上27集 本集：「多项式化简、求值、方程式求解 之差别」、「抽奖时先抽好？ 後抽好？」 https://www.youtube.com/watch?v=Ca1LwoMASXE 【一元一次应用问题】有熊老师陪你教数学 国一上28集 本集：「应用问题解题流程」、「正派直销 vs 老鼠会 怎麽分辨？」 https://www.youtube.com/watch?v=0mAuad0sO9o 【分配问题】有熊老师陪你教数学 (国一上) 第29集 本集：「分配问题」、「何谓 "保险" ？」 https://www.youtube.com/watch?v=PKW0mWf2VSw 第【进阶应用题】有熊老师陪你教数学 (国一上) 第30集 本集：「追及问题」、「无尾熊koala」 https://www.youtube.com/watch?v=LWaidjmfIKg 【一元一次特殊题型】有熊老师陪你教数学 (国一上) 第31集 本集：「特殊题型说明」、「印象派 众画家」 https://www.youtube.com/watch?v=FvBGY7rweTA 【消失的未知数】有熊老师陪你教数学 (国一上) 第32集 本集：「未知数「出现了又消失」」 https://www.youtube.com/watch?v=5Wq-pjRy4UE -- 有熊老师陪你教数学 (影片放在youtube频道) YouTube 频道 https://www.youtube.com/channel/UChi0FIp45pS48dlOUH2U4WQ/ Facebook专页 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