※ 引述《arist ( 在他方 )》之铭言： : : 函数的问题学生只要认识什麽叫做函数 就可以做答 : 我想要的是一个更明确的理由来说服学生 : 「为何要知道日数与月份不是一个函数关系？」 : 就像平常我们会问哪些月有 30 天？ : 这是个很常见的问法，但为何在讲函数时不把这当成函数关系？ : 为何不能够有个函数说 month(30) ={2,4,6,9,11} : 重点不在於学生可否作答，让学生只是知道多对一、一对一、一对多哪些是不是函数 : 那真的有增进对函数的认知吗？一直在检验规定就是数学的目的吗？ 嗯嗯 这就是relation 和 function的不同 你举了一个month(30) ={2,4,6,9,11}这样的relation出来 但它不是function : 我国中毕业时，我会写题目，但实在不了解什麽是函数，觉得那些题目很莫名其妙。 : 我只知道那些东西不叫做函数，但我还是搞不清楚为何要知道他是不是函数。 : 第二个 面积的例子我写得比较简短， : 他是某个学校的月考考题 「长方形的面积是长的函数吗？」 : 答案是否，因为很多不同长度会有相同面积。 : 这种考法是违背我们平常使用的习惯，面积是随着长与宽而变， : 但考题这样考就是在定义上过度做文章，故意把我们觉得该是函数关系考成反面。 其实我在上一篇文 本来也有着墨於此 後来想想觉得不想岔题再岔题 就整段删掉了 这样问其实我也觉得有点怪啦 今天如果我们有多变数函数的观念 这题肯定要答是 我们可以说面积A=f(a,b) , a b 是长和宽 但在我们只认识单变数函数的情况之下 却会由於一对多的理由导致它不是函数 长方形面积并不是 长 的单变数函数 它应该是双变数函数 自变数是 长 和 宽 这两个变数 题目这样考 可能会让具有多变数函数观念的我们 头脑一时转不过来 就告诉学生说 是! 结果学生说 可是解答说否 至於另一种困惑的理由 说面积会随着长与宽而变 所以学生会觉得应该是函数关系 我听了会觉得这就是学生函数观念不足的部份 当然这也是由於数学教育本身没有讲得很清楚 不是说学生观念不足就归咎於他 首先介绍relation和funtion有什麽不同 relation正是所谓的 y 会随着x而变 但y随着x而变并不表示它们就是函数关系 函数不是这样定的 一个 relation 如果它是funtion的话 不可以是一对多 每一个input都只可以有一个output 所以如果你说面积会随着长与宽而变 那麽你只看出了它们有relation的关系 并没有看出是否为function 如果你还要追问 为什麽要作这种区分 那就已经不是题目出得好不好的问题了 而是当初数学家为什麽要这样子去分 为什麽要作这种定义 其实绝大多数都是有理由的 只是我们面对的教育 直接就丢结果给我们 我们看不到历史发展 看不到这样定的理由 所以很多时候我们混淆不清 就算等到我们弄清楚定义了 也不知道为什麽要这样玩 可能开始使用一段时间之後 开始体会到为什麽要这样 也有可能始终体会不到 function是 well-behaved relation 是一种比较好的relation 好在哪里!? 就好在它并不会一对多 我们可以很确定f(3) 而不会是f(3)有很多种可能 可能是-1 可能是5 如果我要问切线斜率 f'(3) 那就很明确是以(3,f(3))这一个点当作切点 而不会有很多种可能 当题目要我求f(7)时 我求出一个解就可以停了 我不用像答国文一样 要去猜所谓的多重选择题 这题到底只有一个答案 还是两个以上 它已经告诉我是单选题 relation是国文的多重选择题 可能只有一个答案 也可能有多个答案 function是单选题 所以你看一对多与否 是不是很重要呢? 就跟作答前先知道是单选还是多选一样重要 如果回到长方形面积的问题 我们的确是无法在只知道长为7的情况下 去确知面积是多少呀 长方形面积不是 长 的单变数函数 如果我们已知长为7 宽为5 两个都知道了 那我就知道面积一定是35 长方形面积是 长 和 宽 的两变数函数 : 我先前录了一个影片，但还是有不少要改进的地方， : 但我的方向是要传达在我们真正在谈函数时 : 是否有办法让学生真的感受到函数的用途，而不是函数的规定。 : https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5KPNYrAtsfcM4Ej7Sll_MFj : : 这两个其实很实用的 : : 不明白为什麽你会觉得这奇怪 : : 我反而还觉得高中介绍得太少 : : 以致於同学上了大一学微积分时 : : 需要解 sec(arctan(x))的时候不会做 : 我的疑惑是算这的目的为何？ 如果你的"这"是指 sec(arctan(x)) 我就给你一个例子 求 arctan(x) 的导函数 (-1)' 1 由於 f (x) ＝ ───── -1 f'(f (x)) 1 1 所以为 ──────── ＝ ──── 2 1＋x^2 sec (arctan(x)) 你看 是不是很实际的需要? : 学反三角的符号不就只是好奇 斜率为 1/3 时对应的角度是几度。 : arctan(1/3) 符号的设计 就是「善意」的观点 来记录书写这个角度。 你说的是它一开始的定义 学数学不会只是学最一开始的东西 随着它的发展我们会发现越来越它的性质 以及可以应用在许多地方 这就好像说你学代数 不会整天只是在看定义 什麽叫群 什麽叫环 这样而已 会继续有一些更多的应用、更深的定理 学微积分也不是只学到什麽叫微分 什麽叫积分 你会很实际地应用在算面积、估算方程式的解、求极大极小 等等更进一步的东西 : 操弄三角关系是三角的重点吗？尤其是对一般高中生而言？ : 我很好奇把这问题去问在已经在做理工商科相关的人员他们的答对率会有多高？ : 这是不是一个只有数学老师在玩的游戏？ : 当你让学生知道 {1,1,2} ={1,2} 这是集合的规定那又如何呢？ : 可是学生说 两个西瓜一个橘子 就是不等於 一个西瓜一个橘子。 : 为何你讲集合时 要把它视为相等呢？ : 这样可以让学生感受到集合这样规定的「善意」在那边吗？ : 就像那五只猴子的故事说的，我们该去追问「传统」「规定」的意义何在？ 集合就是我们只关心有哪些东西 不关心各种东西有几个 以及顺序的问题 所以{1,1,2}＝{1,2} 这在我们只关心有哪些东西时 这个等号是成立的 实际例子就是我问(x-1)^2(x-2)＝0的根 你可以答{1,2} 也可以答{2,1} 顺序不重要 你还可以说1是重根 你想故意写{1,1,2} 那还是对 我只问根 重不重根并不影响根有哪些 如果今天你处理的问题 是必须追究顺序 搞清楚各有几个的 也可以呀 那我们所使用的就不叫集合 我们会用序组 (1,1,2)这时候就不会等於(2,1,2) 也不会等於(2,1) 举例来说 我问丢铜板三次 每次的正反面情况是如何? 那麽我的回答就会是序组 不会回答集合 不同的工具适用不同场合 只关心有哪些东西时 我们就用集合去描述 你所举的西瓜橘子这例子 其实已经关心了每种水果的数量 那就不是集合 如果问题是: 你今天吃了哪种水果 没问你各吃几个 那答案就是西瓜和橘子 甲吃了两西瓜一橘子 乙吃了一西瓜两橘子 单就吃了哪种水果这问题来说 是一样的 集合{西瓜,西瓜,橘子}和{西瓜,橘子,橘子}是相等的 但是序组{西瓜,西瓜,橘子}和{西瓜,橘子,橘子}是不相等的! 我另外再举个例子 说明一些其实有道理的定义 但书上通常只会给定义然後就要我们解题 并判定我们答对答错 不会介绍说为什麽想这样定 以前看到学弟们在争辩关於集合的定义 不免地出现这种初学者常有的问题 B＝{1,{3},5} , 请问3是否属於B 不是 我们只能说{3}这个集合本身是B中的一个元素 但B中并没有3这元素 所以3并不属性B 初学者就会很奇怪啦 3在{3}这个集合里面 {3}在B里面 结果3却不在B里面??? 当然问题就出在"属於"的定义 并不是"在里面" 而是 "是它的元素之一" 那初学者又觉得奇怪了 到底为什麽要这样搞 其实这样玩也是有道理的呀 我说 C 是这样的集合： 它包含了所有连续两位正整数所形成的闭区间 ,但这些整数不大於100 所以 C＝{[1,2] , [2,3] , ... ,[99,100]} C是一个集合 它的元素们是许多区间 而区间这东西本身也是集合 里面有无限多个实数 那问题来了 2.5是不是C的元素? 当然不是呀 今天C就是由一些区间所形成的 你硬要说2.5在[2,3]里面 而[2,3]在C里面 所以2.5也在C里面 这样就造成麻烦了 我的C里头全都是区间 你却告诉我说有个实数是它的元素? 将例子举得更具体 请问(x-2)(x+1)(x-5)(x+3)在哪些区间是负的? 答案是(-3,-1)和(2,5)这两个区间 解集合是{(-3,-1),(2,5)} 它有两个元素 这两个都是区间 那你当然就不能说3属於(2,5)所以也属於这个解集合 我是问哪些区间呀 那当然回答区间 不会回答出一个实数出来 但是我们在学集合的时候 并不会碰到这种例子 我们只管把定义记下来、做错时看是为什麽错 然後下次记得这种情况要答不属於 却不知道数学家为什麽这样玩、道理何在 我觉得我们的态度 不应该是自己不明其缘由 就直接排斥 起码要辛苦地去找出它原因吧! 总结以上 我觉得这并不是题目出得有问题 而是前人们在教数学时很有问题 不但中学老师这样 连大学数学系老师上课时 也很少会讲清楚来由的 另一方面来说 这也变成 我有时候倒是支持不要太有所谓的独立思考 所谓的叛逆 本来好像好的特质 有时却害了自己 你不明白这样定义的来由、好处 就拒绝它 到头来吃亏的是自己 先强迫自己接受 日後才会逐渐明白 我高二时也搞不懂物理的功 怎麽会有做零功做负功这种事情 这种荒谬的事我拒绝接受 所幸後来我还是勉强读下去 後来有逐渐懂了 以及小时候常听的一些所谓的格言、人生大道理 有某一些 当时觉得很莫名其妙 长大後随着人生体验 才慢慢感悟到当中的大有智慧 而这种东西是不可能有老师可以在你年纪尚幼时给你的 我坐时光机回去讲给小时候的我听 应该也是听不进去的 你在少林寺被方丈叫去提十桶水的时候 其实不该因为不明白提水跟练武功什麽关联就不去做了 傻傻地去做反而正确 有点扯远 回到数学学习上来说 我觉得直接接受 以後再慢慢体会 当然不是很好 最好能一开始就搞得清清楚楚 但是 这样还是会好过弄不懂就直接排斥的 很多人年轻时以为数学毫无用处 排斥学习 等上大学真的在用了 再来後悔当初没好好学 何必呢? --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.233.127 ※ 编辑: yuyumagic424 来自: 140.112.233.127 (11/09 04:25) ※ 编辑: yuyumagic424 来自: 140.112.233.127 (11/09 04:37) 嗯 但我想表达的却是 这种现象不该归咎於出题怎麽出 而是数学教育怎麽施行 很多东西居然没有一开始就介绍清楚 而是直接丢 让学生囫囵吞枣 我想说的是题目本身 我觉得没问题 ※ 编辑: yuyumagic424 来自: 140.112.233.127 (11/09 08:21) ※ 编辑: yuyumagic424 来自: 140.112.233.127 (11/09 09:29)