教学的适切性，已於前文表明。 这里纯就数学上来说： ※ 引述《ERT312 (312)》之铭言： : ※ 引述《PROQC (跑步去)》之铭言： : : 1.年级：高一 : : 2.科目：数学 : : 3.章节：指数率 : : 4.题目： 是非题 [ (-2)^1/2次方 ] 12次方 > 0 : : 答案是(错) : 争点应该是 (-2)^(1/2) 有没有超出范围 : 而不是有没有定义 : 因为只要 z≠0， z^w 都可以定义，其中 z,w 是复数 : Def: If z≠0， we define z^w = e^(w Log z) : 其中 Log z = log|z| + i arg(z)， -π< arg(z)≦π : 例如: i^i = e^(i (log1 + iπ/2)) = e^(-π/2) : (-2)^(1/2) = e^{(1/2)(log 2 + iπ)} = Sqrt[2] i : (-1)^(1/3) = e^{(1/3)(log 1 + iπ)} = e^(iπ/3) = 1/2 + i Sqrt[3]/2 : 如果今天有个国中生学过复数，而且会解 x^2 + 1 = 0 : 当他跟你说 x = ± i时，你应该不会跟他说错吧 : 同样道理，[ (-2)^(1/2) ]^12 > 0，没有错的理由 : 你可以说它超出高中范围，但不能说它错 : 但是否真的超出范围仍然可以争议 : 因为即使不用上述的定义 (-2)^(1/2) = e^{(1/2)(log 2 + iπ)} = Sqrt[2] i : 以高中能理解的方式来看待 (-2)^(1/2) 也是可以的 : (如果是问 i^i > 0 ，那超出范围就没有争议) : 把 (-2)^(1/2) 视为 x^2 + 2 = 0 的二根 : 是高中就能理解，也合情合理的事 : 事实上在推广指数到有理数时就有这样的经验了 : 只不过 a<0 时没办法再规定 a^(1/n) 是代表 x^n = a 的唯一正根 : 若把 (-2)^(1/2) 视为 x^2 + 2 = 0 的二根 : (-2)^(1/2) = ± Sqrt[2] i : (-2)^(1/2) 即使多值，但 [ (-2)^(1/2) ]^12 > 0 仍然成立 : 另外一个争点 : 如果复数运算後的结果是一个实数，那当然可以比较大小 : 事实上这种例子高中就有了 : - - : z z ≧ 0 就是一例，其中 z 是复数， z 是它的共轭复数 : 内积 < x,x > ＞ 0 , if x≠0 也是一例 实数可以定义排序，纯虚数也同样能定义排序。 数学因为指涉的不是现实中客体，对於同样自洽的逻辑体系里， 不同体系的定义不同，不代表一定是其中某个体系的结论错了。 复数的模平方之所以能定义排序， 是因为在这样定义出来的向量空间中，向量的模为半正定。 所以不必担心无法比较大小。 但是一般情况里，如果只将运算的结果， 视为复数域里的一个向量，强加排序是没有道理的。 关於判别命题的对错，你预设的定义为何，当然也重要。 因为当定义的逻辑体系不同，结果就不一样。 例如Dirac-delta函数，就不满足传统函数的定义。 但没有人会认为广意函数是错误或无用的。 广义相对论描述的四维时空， 其metric也不符合数学家在传统上对metric的定义。 但现今以有越来越多数学家投入相关研究， 没有人会因此批评这套几何学是错的或者无意义的。 定义是沟通交流上的共通基础， 因为数学上自洽的逻辑体系不唯一。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 180.206.229.116